Задача 72431 Решите неравенство...

64e832d7ea5d03393de1f237

01.09.2023 00:34:36

Решите неравенство
15^х-27*5^х/х*3^х-4*3^х-27х+10<=1/х-4

626fab9a354ab65fb2f43abb

01.09.2023 11:50:58

★

[m]\frac{15^{x} - 27 \cdot 5^{x}}{x \cdot 3^{x} - 4\cdot 3^{x} - 27x + 108} ≤ \frac{1}{x-4}[/m]
Область допустимых значений переменной:
{ x ≠ 4
{ x*3^(x) - 4*3^(x) - 27x + 108 ≠ 0
Решаем:
{ x ≠ 4
{ 3^(x)*(x - 4) - 27(x - 4) ≠ 0
Раскладываем на скобки:
{ x ≠ 4
{ (x - 4)(3^(x) - 27) ≠ 0
Получаем:
{ x ≠ 4
{ 3^{x} - 27 ≠ 0, отсюда x ≠ 3
[b]ОДЗ: x ∈ (-oo; 3) U (3; 4) U (4; +oo)[/b]

Решаем само неравенство:
[m]\frac{3^{x} \cdot 5^{x} - 27 \cdot 5^{x}}{(x - 4)(3^{x} - 27)} - \frac{1}{x-4} ≤ 0[/m]
[m]\frac{5^{x}(3^{x} - 27)}{(x - 4)(3^{x} - 27)} - \frac{1}{x-4} ≤ 0[/m]
Так как по ОДЗ 3^{x} - 27 ≠ 0, то 3^{x} - 27 можно сократить.
[m]\frac{5^{x}}{x - 4} - \frac{1}{x-4} ≤ 0[/m]
[m]\frac{5^{x} - 1}{x - 4} ≤ 0[/m]

Так как дробь не положительна, то числитель и знаменатель имеют разные знаки. Получается два варианта:
1)
{ 5^x - 1 ≤ 0
{ x - 4 > 0
Решаем:
{ 5^x ≤ 5^0
{ x > 4
Так как функция y = 5^x возрастающая, получаем:
{ x ≤ 0
{ x > 4
Эта система решений не имеет.

2)
{ 5^x - 1 ≥ 0
{ x - 4 < 0
Решаем:
{ 5^x ≥ 5^0
{ x < 4
Так как функция y = 5^x возрастающая, получаем:
{ x ≥ 0
{ x < 4
Получаем:
x ∈ [0; 4)
Но по ОДЗ x ≠ 3, поэтому

[b]Ответ: x ∈ [0; 3) U (3; 4)[/b]