Задача 72430 Решите тригонометрическое...
Условие
sin(2x) + 4sin(x) + 4cos(x) + 4 = 0
Решение
sin 2x + 4sin x + 4cos x + 4 = 0
2sin x*cos x + 4(sin x + cos x) + 1 + 3 = 0
sin^2 x + 2sin x*cos x + cos^2 x + 4(sin x + cos x) + 3 = 0
(sin x + cos x)^2 + 4(sin x + cos x) + 3 = 0
Замена sin x + cos x = y
y^2 + 4y + 3 = 0
y1 = sin x + cos x = -3
y2 = sin x + cos x = -1
Есть формула суммы синуса и косинуса:
sin x + cos x = sqrt(2)*sin(x + π/4)
Решаем:
1) sqrt(2)*sin(x + π/4) = -3
sin(x + π/4) = -3/sqrt(2) < -1
Решений нет, так как синус принимает значения [-1; 1].
2) sqrt(2)*sin(x + π/4) = -1
sin(x + π/4) = -1/sqrt(2)
x1 + π/4 = -π/4 + 2π*n, n ∈ Z
[b]x1 = -π/2 + 2π*n, n ∈ Z[/b]
x2 + π/4 = 5π/4 + 2π*n, n ∈ Z
[b]x2 = π + 2π*n, n ∈ Z[/b]