Задача 72421 Высота правильного угла равна 2корень 3...

64e5bc36c8fe2b13313bad19

26.08.2023 16:02:43

Высота правильного угла равна 2корень 3 и равна стороне основания.
a. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. b. Найдите величину угла, образованного боковой стороной пирамиды и плоскостью основания.

626fab9a354ab65fb2f43abb

28.08.2023 00:28:28

★

Рисунок прилагается.
Дана правильная треугольная пирамида ABCS,
ABC - равносторонний треугольник. Сторона a = AB = BC = AC = 2sqrt(3) см.
Высота H = SO = 2sqrt(3) см.
Найти: a. Площадь боковой поверхности пирамиды S(бок)
b. Величину угла между боковым ребром и плоскостью основания SAO.

Решение.
a. Медиана, она же биссектриса и высота основания
CM = a*sqrt(3)/2 = 2sqrt(3)*sqrt(3)/2 = 2*3/2 = 3 см
Остальные медианы тоже 3 см, потому что треугольник равносторонний.
Точка О - точка пересечения медиан, она делит их в отношении 2 : 1.
Значит, CO = AO = BO = 2 см, OM = 1 см.
SM - гипотенуза прямоугольного треугольника OSM.
SM^2 = SO^2 + OM^2 = (2sqrt(3))^2 + 1^2 = 4*3 + 1 = 13
SM = sqrt(13) см.
SM - высота равнобедренного треугольника ABS
Площадь боковой грани:
S(ABS) = AB*SM/2 = 2sqrt(3)*sqrt(13)/2 = sqrt(3)*sqrt(13) = sqrt(39) см^2
Так как все три боковых грани одинаковы, то:
S(бок) = 3*S(ABS) = 3sqrt(39) см^2

b. AS - гипотенуза прямоугольного треугольника AOS
AS^2 = AO^2 + SO^2 = 2^2 + (2sqrt(3))^2 = 4 + 4*3 = 16
AS = sqrt(16) = 4 см
sin SAO = SO/AS = 2sqrt(3)/4 = sqrt(3)/2
SAO = 60° = π/3