Задача 72409 Для чисел a, b ,c выполняются равенства:...
Условие
Решение
Каждую из дробей можно преобразовать, выделив единицу:
[m]\frac{-a+b+c}{a} = \frac{(b+c)-a}{a} = \frac{b+c}{a} -1 [/m]
[m]\frac{a-b+c}{b} = \frac{(a+c)-b}{b} = \frac{a+c}{b} -1 [/m]
[m]\frac{a+b-c}{c} = \frac{(a+b)-c}{c} = \frac{a+b}{c} -1 [/m]
Получаем:
[m]\frac{b+c}{a} -1 = \frac{a+c}{b} -1 = \frac{a+b}{c} -1[/m]
Прибавляем 1 к каждой части, получаем:
[m]\frac{b+c}{a} = \frac{a+c}{b} = \frac{a+b}{c}[/m]
Нам надо найти, какие значения может принимать выражение:
[m]\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc} = \frac{b+c}{a} \cdot \frac{a+c}{b} \cdot \frac{a+b}{c}[/m]
Получается, что нам надо найти произведение трех дробей, а они все равны друг другу.
Это произведение будет кубом рационального числа.
[m]\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc} = \frac{b+c}{a} \cdot \frac{a+c}{b} \cdot \frac{a+b}{c} = \frac{a+b}{c} \cdot \frac{a+b}{c} \cdot \frac{a+b}{c} = (\frac{a+b}{c})^3[/m]