Задача 72408 Найдите все значения параметра ????, при...
Условие
решения.
Решение
Область допустимых значений переменной x:
a - 2|x| + 1 ≠ 0
|x| ≠ (a + 1)/2
x ≠ (a + 1)/2, если x ≥ 0;
x ≠ (-a - 1)/2, если x < 0
Так как мы пока не знаем а, проще решить уравнение, а потом проверить, подходят ли корни к ОДЗ.
[m]\frac{-ax+a^2-2x+2a + (x^2+2x)(x-a)}{a-2|x|+1} = 0[/m]
[m]\frac{-a(x-a)-2(x-a) + (x^2+2x)(x-a)}{a-2|x|+1} = 0[/m]
[m]\frac{(x-a)(-a-2+x^2+2x)}{a-2|x|+1} = 0[/m]
Если дробь равна 0, то числитель равен 0, а знаменатель нет.
(x - a)(x^2 + 2x - a - 2) = 0
1) x1 = a
Проверяем ОДЗ
1а) При x = a ≥ 0:
a ≠ (a + 1)/2
2a ≠ a + 1
a ≠ 1
1б) При x = a < 0:
a ≠ (-a - 1)/2
2a ≠ -a - 1
3a ≠ -1
a ≠ -1/3
Решение 1: [b]x1 = a при a ≠ 1 и a ≠ -1/3[/b]
2) x^2 + 2x - a - 2 = 0 [b](2)[/b] [b](2)[/b]
D/4 = 1^2 - 1(-a - 2) = 1 + a + 2 = a + 3
При [b]a = -3[/b] будет D = 0, и уравнение [b](2)[/b] имеет одно решение:
x^2 + 2x + 3 - 2 = 0
x^2 + 2x + 1 = 0
(x + 1)^2 = 0
x2 = -1
В этом случае уравнение [b](1)[/b] имеет два решения:
[b]x1 = a = -3; x2 = -1[/b]
При a < -3 будет D < 0, тогда уравнение [b](2)[/b] не имеет решений,
Тогда уравнение [b](1)[/b] имеет одно решение, нам это не подходит.
При a > -3 будет D > 0, тогда уравнение [b](2)[/b] имеет два решения.
В этом случае уравнение [b](1)[/b] будет иметь два решения, если
x1 = x2 или x1 = x3.
Решение 2: [b]x2 = -1 - sqrt(a+3); x3 = -1 + sqrt(a+3) при a ≥ -3[/b]
Проверяем эти случаи:
2а) x1 = x2
a = -1 - sqrt(a+3)
sqrt(a+3) = -a - 1
Так как корень арифметический, то должно быть:
-a - 1 ≥ 0; a ≤ -1
С учетом условия a > -3 получаем:
a ∈ (-3; -1]
a + 3 = (-a - 1)^2
a + 3 = a^2 + 2a + 1
a^2 + a - 2 = 0
(a + 2)(a - 1) = 0
a1 = -2 - подходит; a2 = 1 > -1 - не подходит.
При [b]a = -2[/b] будут корни:
x1 = a = -2; x2 = -1 - sqrt(-2+3) = -1 - 1 = -2; x3 = -1 + 1 = 0
[b]x1 = x2 = -2; x3 = 0[/b]
Действительно два корня.
2б) x1 = x3
a = -1 + sqrt(a+3)
sqrt(a+3) = a + 1
Так как корень арифметический, то должно быть:
a + 1 ≥ 0; a ≥ -1
a + 3 = (a + 1)^2
a + 3 = a^2 + 2a + 1
a^2 + a - 2 = 0
(a + 2)(a - 1) = 0
a1 = -2 < -1 - не подходит; a2 = 1 > -1 - подходит.
Но в п. 1 мы выяснили, что a ≠ 1, поэтому здесь решений нет.
Ответ: Уравнение имеет два решения при:
a = -3: x1 = a = -3; x2 = -1
a = -2: x1 = a = -2; x2 = 0