Задача 72407 ...
Условие
(x^2 - 4x + 2a^2 - a^4 + 3)*sqrt(x^2 - 7x + 6) ≤ 0
[blue]_(Решить нужно аналитическим методом)[/blue]
Решение
Область допустимых значений переменной x:
x^2 - 7x + 6 ≥ 0
(x - 1)(x - 6) ≥ 0
x ∈ (-oo; 1] U [6; +oo)
Арифметический квадратный корень ≥ 0 при любом x ∈ ОДЗ
Поэтому мы сразу имеем два решения, не зависящие от а:
[b]x1 = 1; x2 = 6[/b]
При x < 1 и x > 6 квадратный корень будет > 0 и его можно сократить.
x^2 - 4x - a^4 + 2a^2 + 3 ≤ 0 [b](2)[/b]
Справа квадратная функция, у графика которой ветви направлены вверх.
Это значит, что неравенство [b](2)[/b] имеет такое решение:
[b]x ∈ [x3; x4][/b]
Если x3 ≥ 1 и x4 ≤ 6, то исходное неравенство [b](1)[/b] имеет 2 решения:
x1 = 1; x2 = 6
Если x3 < 1 и x4 ≤ 6, то неравенство [b](1)[/b] имеет решения:
[b]x ∈ [x3; 1] U {6}[/b]
Возможен вариант, что на промежутке [x3; 1] будет 3 целых решения,
то есть -2 < x3 ≤ -1. Тогда целые решения: -1; 0; 1; 6.
Если x3 < 1 и x4 > 6, то неравенство [b](1)[/b] имеет решения:
[b]x ∈ [x3; 1] U [6; x4][/b]
Возможен вариант, что на промежутке [x3; 1] будет 3 целых решения,
и на промежутке [6; x4] будет 1 целое решение x2 = 6.
То есть -2 < x3 ≤ -1 и 6 < x4 < 7. Тогда целые решения: -1; 0; 1; 6.
Решаем это неравенство.
D/4 = (-2)^2 - 1(-a^4+2a^2+3) = 4+a^4-2a^2-3 = a^4-2a^2+1 = (a^2-1)^2
x3 = 2 - (a^2 - 1) = 2 - a^2 + 1 = 3 - a^2
x4 = 2 + (a^2 - 1) = 2 + a^2 - 1 = 1 + a^2
Заметим, что при а^2 = 1 будет x3 = 3 - 1 = 2; x4 = 1 + 1 = 2
То есть при a ∈ [-1; 1] будет x3 ≥ x4.
Но число 2 не входит в ОДЗ, значит, должно быть:
а ∈ (-oo; -1) U (1; +oo)
Тогда x3 < x4 при любых а ∈ (-oo; -1) U (1; +oo)
Решаем системы неравенств по условиям:
1) -2 < x3 ≤ -1
{ 3 - a^2 > -2
{ 3 - a^2 ≤ -1
Решаем:
{ a^2 < 5
{ a^2 ≥ 4
Получаем:
a^2 ∈ [4; 5)
a ∈ (-sqrt(5); -2] U [2; sqrt(5))
При этом корни:
x3 = 3 - a^2 ∈ [3-4; 3-5) = (-2; -1]
x4 = a^2 + 1 ∈ [4+1; 5+1) = [5; 6)
Как видим, x4 < 6, поэтому это первый вариант:
[b]x ∈ [x3; 1] U {6}[/b], целые решения: -1; 0; 1; 6.
2) 6 < x4 < 7
{ a^2 + 1 > 6
{ a^2 + 1 < 7
Решаем:
{ a^2 > 5
{ a^2 < 6
Получаем:
a^2 ∈ (5; 6)
a ∈ (-sqrt(6); -sqrt(5)) U (sqrt(5); sqrt(6))
При этому корни:
x3 = 3 - a^2 ∈ (3-5; 3-6) = (-3; -2)
x4 = a^2 + 1 ∈ (5+1; 6+1) = (6; 7)
Но если x3 < -1, то неравенство [b](1)[/b] будет иметь больше 4 решений.
Поэтому этот вариант нам не подходит.
Ответ: a ∈ (-sqrt(5); -2] U [2; sqrt(5))
[b]x ∈ [x3; 1] U {6}[/b], целые решения: -1; 0; 1; 6.