Задача 72405 Множество состоит из чисел, представимых...

64e5f10dfd2bff615052d7fc

23.08.2023 16:13:35

Множество состоит из чисел, представимых в виде a^2 + 2*b^2, где a и b – целые числа.
Докажите, что произведение двух чисел множества также лежит в этом множестве.

626fab9a354ab65fb2f43abb

23.08.2023 17:32:35

★

Пусть два числа, принадлежащих этому множеству, имеют вид:
N = a^2 + 2b^2; M = x^2 + 2y^2
Тогда их произведение:
N*M = (a^2 + 2b^2)(x^2 + 2y^2) = a^2x^2 + 2b^2x^2 + 2a^2y^2 + 4b^2y^2 =
= a^2x^2 + 4b^2y^2 + 2b^2x^2 + 2a^2y^2 =
= (a^2x^2 - 4ax*by + 4b^2y^2) + 4ax*by + 2(b^2x^2 - 2bx*ay + a^2y^2) =
= (ax - 2by)^2 + 4bx*ay + 2(bx - ay)^2 = (ax - 2by)^2 + 2(bx + ay)^2 = m^2 + 2n^2
Что и требовалось доказать.