Задача 72404 Упростите выражение:...

64e5f10dfd2bff615052d7fc

23.08.2023 14:48:42

Упростите выражение: (1+1/3)*(1+1/8)*(1+1/15)+...+(1+1/((100)^2-1))).

626fab9a354ab65fb2f43abb

23.08.2023 15:33:55

★

[m](1+\frac{1}{2^2-1})(1+\frac{1}{3^2-1})(1+\frac{1}{4^2-1})...(1+\frac{1}{100^2-1})[/m]
Заметим, что в каждой скобке, для всех n от 2 до 100:
[m]1+\frac{1}{n^2-1} = \frac{n^2-1+1}{n^2-1} = \frac{n^2}{n^2-1} = \frac{n^2}{(n-1)(n+1)} = \frac{n}{n-1} \cdot \frac{n}{n+1}[/m]
Получаем произведение:
[m]\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot ... \cdot \frac{98}{97} \cdot \frac{98}{99} \cdot \frac{99}{98} \cdot \frac{99}{100} \cdot \frac{100}{99} \cdot \frac{100}{101}[/m]
Как видим, все дроби сокращаются, кроме первой и последней. Остаётся:
[m]\frac{2}{1} \cdot \frac{100}{101} = \frac{200}{101}[/m]