Задача 72393 В треугольнике АВС «ВАС=30°, отношение...

64e312c0831e28546989ef61

21.08.2023 10:48:36

В треугольнике АВС «ВАС=30°, отношение АВ:АС= 4\/3: 9. Окружность, центр которой совпадает с центром описанной вокруг треугольника АВС окружности, касается стороны ВС в её середине и пересекает сторону АВ в точках О и Е. Найдите отношение ОЕ:ВС.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

21.08.2023 19:00:57

★

По теореме синусов ( Δ АВС)

BC/sin ∠ A=2R

∠ A= ∠ BAC=30 ° - вписанный угол, значит ∠ BOC=60 ° - центральный угол

BC=R ⇒

BK=KC=R/2 ( К - точка касания окружности радиуса r со стороной ВС) ⇒


r=OK=Rsqrt(3)/2




DO=OE=OK=r=R*sqrt(3)/2



По условию
АВ/AC=4sqrt(3)/9 ⇒ AB=4sqrt(3)*k; AC=9*k

По теореме косинусов

BC^2=AB^2+AC^2-2*AB*AC*cos30 °

BC^2=48*k^2+81*k^2-2*4sqrt(3)*k*9*k*sqrt(3)/2

BC^2=21k^2

⇒ R=sqrt(21)*k

По теореме синусов

AB/sin ∠ C=2R

sin ∠ C=2/sqrt(7)

AC/sin ∠ B=2R

sin ∠ B=9/(2*sqrt(21))


По свойству касательной и секущей:

[b]BD*BE=BK^2 [/b]