Задача 72392 Решите тригонометрическое...

64e272ab831e28546989eedf

20.08.2023 23:12:24

Решите тригонометрическое уравнение:

cos(3x) + cos(3x) = 4cos(2x)

626fab9a354ab65fb2f43abb

21.08.2023 00:49:32

★

cos 3x + cos 3x = 4cos 2x
2cos 3x = 4cos 2x
cos 3x = 2cos 2x
4cos^3 x - 3cos x = 2(2cos^2 x - 1)
4cos^3 x - 3cos x = 4cos^2 x - 2
Замена cos x = t, получаем кубическое уравнение:
4t^3 - 4t^2 - 3t + 2 = 0
4t^3 - 2t^2 - 2t^2 + t - 4t + 2 = 0
2t^2(2t - 1) - t(2t - 1) - 2(2t - 1) = 0
(2t - 1)(2t^2 - t - 2) = 0
t1 = cos x = 1/2;
x1 = +-π/3 + 2π*n, n ∈ Z
2t^2 - t - 2 = 0
D = (-1)^2 - 4*2(-2) = 1 + 16 = 17
t2 = cos x = (1 - sqrt(17))/4 ≈ -0,78;
x2 = +-arccos((1 - sqrt(17))/4) + 2π*m; m ∈ Z
t3 = cos x = (1 + sqrt(17))/4 ≈ 1,28 > 1 - решений нет

Ответ: x1 = +-π/3 + 2π*n, n ∈ Z; x2 = +-arccos((1 - sqrt(17))/4) + 2π*m; m ∈ Z