Задача 72391 Многочлен Р(х) степени 4 со старшим...

64cf82d60d657664a0bc1cee

20.08.2023 22:17:30

Многочлен Р(х) степени 4 со старшим коэффициентом 1 удовлетворяет условиям Р(1)=10. Р(2)=20 и Р(3)=30. Найдите P(12)+P(-8)

626fab9a354ab65fb2f43abb

21.08.2023 00:33:45

★

Многочлен степени 4 со старшим коэффициентом 1 выглядит так:
P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d
Известно, что:
P(1) = 1^4 + a*1^3 + b*1^2 + c*1 + d = 10
P(2) = 2^4 + a*2^3 + b*2^2 + c*2 + d = 20
P(3) = 3^4 + a*3^3 + b*3^2 + c*3 + d = 30
Составляем систему:
{ 1 + a + b + c + d = 10
{ 16 + 8a + 4b + 2c + d = 20
{ 81 + 27a + 9b + 3c + d = 30
Упрощаем:
{ a + b + c + d = 9
{ 8a + 4b + 2c + d = 4
{ 27a + 9b + 3c + d = -51
Получили 3 уравнения с 4 неизвестными.
Это значит, что одна неизвестная свободна, а остальные зависят от неё.
Несложными преобразованиями мы получаем:
a ∈ R; b = -6a - 25; c = 11a + 70; d = -6a - 36

Далее, нам надо найти сумму P(12) + P(-8)
P(12) = 12^4 + 12^3*a + 12^2*b + 12*c + d =
= 12^4 + 12^3a + 12^2(-6a - 25) + 12(11a + 70) + (-6a - 36) =
= 20736 + 12*(144a + 12(-6a) - 12*25 + 11a + 70) - 6a - 36 =
= 20700 + 12*(83a - 230) - 6a = 20700 + 6*166a - 6a - 12*230 =
= 20700 + 6*165a - 2760 = 17940 + 6*165a

P(-8) = (-8)^4 + (-8)^3*a + (-8)^2*b + (-8)*c + d =
= 8^4 - 8^3a + 8^2(-6a - 25) - 8(11a + 70) + (-6a - 36) =
= 4096 + 8*(-64a + 8(-6a) - 8*25 - 11a - 70) - 6a - 36 =
= 4060 + 8*(-123a - 270) - 6a = 4060 - 4*2*3*41a - 8*270 - 6a =
= 4060 - 6*164a - 6a - 2160 = 1900 - 6*165a

P(12) + P(-8) = 17940 + 6*165a + 1900 - 6*165a = 19840
[b]ВСЁ![/b]