Задача 72388 ...

64deef583cffa6366995a601

18.08.2023 07:11:41

Дана трапеция ABCD с основаниями AD и ВС. Пусть М — середина отрезка AD, а N —произвольная точка отрезка ВС. Пусть К —пересечение отрезков СМ и DN, a L — пересечение отрезков MN и АС. Найдите все возможные значения площади треугольника ABL, если известно, что AD:BC=5:2, а площадь треугольника DMK равна 5

5f3ea7e3faf909182968ddd9

19.08.2023 22:20:31

★

Δ LNC подобен Δ LMА по двум углам:
∠ LCN = ∠ LAM - внутренние накрест лежащие при BC||AD и секущей AC
∠ LNC = ∠ LMA - внутренние накрест лежащие при BC||AD и секущей MN

Из подобия следует пропорциональность сторон
[b] NL : LM=NC:AM [/b]

Δ NKC подобен Δ DKM по двум углам:
∠ CNK = ∠ KDM - внутренние накрест лежащие при BC||AD и секущей ND
∠NCK = ∠ DMK - внутренние накрест лежащие при BC||AD и секущей CM

Из подобия следует пропорциональность сторон
[b]NK : KD=NC:MD [/b]

Из полученных пропорций c учетом АМ=MD
NL : LM=NK : KD
По теореме, обратной теореме Фалеса, получаем, что
LK || AD
Но AD||BC
Значит,
LK || AD || BC

По условию AD:BC=5:2
Обозначим AD=5x; BC=2x
Тогда
AM=MD=5x/2

Обозначим высоту треугольника DMK через h.
Высоту трапеции через Н.
Δ APL подобен Δ ABC ( PL || BC)
PL : BC=h:H
[b]PL=(h/H)*BC[/b]

Так как по условию
S(Δ DMK)=5

И с другой стороны
S(Δ DMK)=(1/2)*(5x/2)*h

то
(1/2)*(5x/2)*h=5

[b]x*h=4[/b]


S( Δ ABL)=(1/2)*[b]PL[/b]*H,

S( Δ ABL)=(1/2)*[b](h/H)*2x[/b]*H

S( Δ ABL)=(1/2)*h*2x

S( Δ ABL)=x*h

S( Δ ABL)=[b]4[/b]

649c62f0b729e86fbf530d0c

19.08.2023 12:44:23

Ответ 4