Задача 72386 ...

64de4b0e3cffa6366995a584

17.08.2023 19:34:00

Решите систему неравенств Гвета i B 12 <5 ! I |1ОЁ ы £ -‚:_-_-, i | ———— < , -~ - k. (20 , +Х-2-х” ! о” ЦЧ\ЁЁ\Ё%‘%‹\ о ! = . ‚ — = e e = e ——— AL s e

626fab9a354ab65fb2f43abb

18.08.2023 00:45:08

★

Тут надо особое внимание обратить на ОДЗ.
1 неравенство имеет смысл при любых x ∈ R.
Его решение: x ∈ [0; 2]
А у 2 неравенства намного интереснее.
ОДЗ:
{ 2 - x > 0
{ 2/9*x^2 > 0
{ 4x - 3 - x^2 > 0
{ 4x - 3 - x^2 ≠ 1
Решаем:
{ x < 2
{ x > 0
{ x ∈ (1; 3)
{ x ≠ 2
Получаем:
x ∈ (1; 2)
1 неравенство выполняется при всех этих значениях x.
Заметим, что 2 неравенство содержит дробь, причем в числителе и в знаменателе стоят логарифмы с одинаковым основанием 4x-3-x^2
На рисунке представлен график этой параболы.
Часть, соответствующая ОДЗ, нарисована красным.
Как видим, при этих значениях x значения параболы:
4x - 3 - x^2 ∈ (0; 1)
Если основание логарифма меньше 1, то сам логарифм - убывающий.
Чем больше число под логарифмом, тем меньше сам логарифм.
У нас в числителе и в знаменателе логарифмы с одинаковым основанием.
Значит, можно логарифмы убрать, но знак неравенства поменяется.
[m]\frac{2-x}{2/9 \cdot x^2} ≥ 1[/m]
[m]\frac{18-9x}{2x^2} - 1 ≥ 0[/m]
[m]\frac{18-9x-2x^2}{2x^2} ≥ 0[/m]
При x ∈ (1; 2) знаменатель будет 2x^2 > 0, значит числитель:
18-9x-2x^2 ≥ 0
2x^2 + 9x - 18 ≤ 0
D = 9^2 - 4*2(-18) = 81 + 8*18 = 81 + 144 = 225 = 15^2
x1 = (-9 - 15)/4 = -24/4 = -6
x2 = (-9 + 15)/4 = 6/4 = 1,5
Решение неравенства:
x ∈ [-6; 1,5]
С учетом ОДЗ:
x ∈ (1; 1,5]
Это и есть решение системы.