Задача 72383 AB = c, BC = a, DCA = 30, 2cosB =...
Условие
Найти углы B и C
Решение
2cos B = (a+b)/(a+c) + 1 = (a+b+a+c)/(a+c) = (2a+b+c)/(a+c)
ADC = 90°, DCA = 30°; отсюда DAC = 60°
cos DAC = AD/AC = AD/b
AD/b = cos 60° = 0,5
b = 2*AD
CD = h = sqrt(3)/2*b = sqrt(3)/2*2*AD = sqrt(3)*AD
По теореме Пифагора для прямоугольного Δ CDB:
CD^2 + BD^2 = BC^2
h^2 + (c - AD)^2 = a^2
3*AD^2 + c^2 - 2c*AD + AD^2 = a^2
4*AD^2 - 2c*AD + (c^2 - a^2) = 0
Длины а и с считаются известными, получаем квадратное уравнение, из которого можно найти AD.
Дискриминант D/4 = (-c)^2 - 4(c^2 - a^2) = 4a^2 - 3c^2
[m]AD = \frac{c + \sqrt{4a^2 - 3c^2}}{4}[/m]
Здесь AD получается слишком большое. Это решение нам не подходит.
[m]AD = \frac{c - \sqrt{4a^2 - 3c^2}}{4}[/m]
Это решение нам подходит.
[m]AC = b = 2AD = \frac{c - \sqrt{4a^2 - 3c^2}}{2}[/m]
В прямоугольном Δ CDB:
[m]cos B = \frac{BD}{BC} = \frac{AB - AD}{BC} = \frac{c - \frac{c - \sqrt{4a^2 - 3c^2}}{4}}{a} = \frac{4c - c + \sqrt{4a^2 - 3c^2}}{4a} = \frac{3c + \sqrt{4a^2 - 3c^2}}{4a}[/m]
По условию 2cos B = (a+b)/(a+c) + 1 = (2a+b+c)/(a+c)
[m]cos B = \frac{2a+b+c}{2a+2c} = \frac{2a+c+\frac{c - \sqrt{4a^2 - 3c^2}}{2}}{2a+2c} = \frac{4a+2c+c-\sqrt{4a^2 - 3c^2}}{4a+4c} = \frac{4a+3c-\sqrt{4a^2 - 3c^2}}{4a+4c}[/m]
Из этих двух выражений для cos B можно выразить с через а или наоборот.
Угол А нам уже известен, он равен 60°.
Осталось найти угол C = 180° - B - A = 180° - B - 60°
C = 120° - B