Задача 72380 Точки М и N лежат на стороне АС...
Условие
Решение
AM = 48 см, AN = 84 см, значит MN = 84 - 48 = 36 см.
BAC = a
cos BAC = cos a. У вас в условии cos BAC = 4, но так не может быть.
Я буду писать просто cos a, а вы потом подставьте нужное число.
Обозначим точки на окружности K и D.
Радиус OM = ON = OD = OK = R
Есть теорема:
AD^2 = AM*AN = 48*84 = 16*3*3*4*7
AD = sqrt(16*3*3*4*7) = 4*3*2*sqrt(7)
[b]AD = 24sqrt(7)[/b]
Углы KOM = b, ODA = 90°, DOM = 90° + b, MON = x
Как известно, сумма углов в любом 4-угольнике равна 360°.
Поэтому в 4-угольнике MODA будет:
AMO = 360° - ODA - DOM - DAM = 360° - 90° - (90° + b) - a = 180° - b - a
AMO + (a + b) = 180°
Но, с другой стороны, AMO + OMN = 180°. Значит:
OMN = a + b
Треугольник OMN - равнобедренный, OM = ON = R, значит:
OMN = ONM = a + x
OMN + ONM + MON = 180°
a + b + a + b + x = 180°
2(a+b) + x = 180°
x = 180° - 2(a+b)
cos x = cos(180° - 2(a+b)) = -cos(a+b)
По теореме косинусов получим для треугольника DAM:
DM^2 = AM^2 + AD^2 - 2*AM*AD*cos DAM
DM^2 = 48^2 + 24^2*7 - 2*48*24sqrt(7)*cos a
DM^2 = 2304 + 4032 - 2304sqrt(7)*cos a = 6336 - 2304sqrt(7)*cos a [b](1)[/b]
Для треугольника DOM получим:
DM^2 = OD^2 + OM^2 - 2*OD*OM*cos DOM
DM^2 = R^2 + R^2 - 2*R*R*cos(90 + b) = 2R^2 + 2R^2*sin b = 2R^2*(1 + sin b) [b](2)[/b]
Приравниваем правые части в уравнениях (1) и (2):
6336 - 2304sqrt(7)*cos a = 2R^2*(1 + sin b) [b](3)[/b]
Для треугольника NOM получим:
MN^2 = OM^2 + ON^2 - 2*OM*ON*cos x
36^2 = R^2 + R^2 + 2*R*R*cos (a+b)
1296 = 2R^2*(1 + cos (a+b))
2R^2 = 1296/(1 + cos (a+b)) [b](4)[/b]
Подставляем уравнение (4) в уравнение (3) и получаем:
6336 - 2304sqrt(7)*cos a = 1296/(1 + cos (a+b))*(1 + sin b)
24^2*11 - 48^2*sqrt(7)*cos a = 36^2*(1 + sin b)/(1 + cos (a+b))
После сокращения чисел получим:
44 - 16*sqrt(7)*cos a = 9*(1 + sin b)/(1 + cos (a+b))
(1 + cos (a+b))/(1 + sin b) = 9/(44 - 16*sqrt(7)*cos a)
Осталось найти угол b из этого уравнения, а потом получить R из (4)