Задача 72372 ...

64d9d9b303800954ca1e830b

14.08.2023 10:38:49

Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку (π/6; π)
sqrt(4+3cosx-cos2x)=sqrt(6)sinx

626fab9a354ab65fb2f43abb

14.08.2023 11:22:54

★

[m]\sqrt{4+3\cos(x)-\cos(2x)} = \sqrt{6}\sin(x)[/m]
Область допустимых значений переменной.
Корень - арифметический, поэтому неотрицательный.
Поэтому:
sin x ≥ 0
Если правая часть неотрицательна, то и в левой части под корнем неотрицательное выражение, по определению арифметического квадратного корня.
[b]ОДЗ: x ∈ [2π*k; π + 2π*k], k ∈ Z[/b]

Теперь решаем само уравнение. Возводим в квадрат обе части:
4 + 3cos x - cos 2x = 6sin^2 x
4 + 3cos x - 2cos^2 x + 1 = 6 - 6cos^2 x
4cos^2 x + 3cos x - 1 = 0
(cos x + 1)(4cos x - 1) = 0
cos x1 = -1
[b]x1 = π + 2π*n, n ∈ Z[/b]
cos x2 = 1/4
x2 = ± arccos(1/4) + 2π*m, m ∈ Z
Но корни -arccos(1/4) + 2π*m, m ∈ Z не принадлежат ОДЗ, поэтому:
[b]x2 = + arccos(1/4) + 2π*m, m ∈ Z[/b]
Найдем корни, лежащие в интервале (π/6; π)
В I четверти функция косинуса - убывающая.
Чем больше аргумент, тем меньше значение функции.
cos(π/6) = sqrt(3)/2 ≈ 0,866 > 1/4
Значит, π/6 > arccos(1/4), то есть arccos(1/4) ∈ (π/6; π)
π ∉ (π/6; π)

[b]Ответ: x1 = arccos(1/4)[/b]