Задача 72355 Найти частное решение дифференциального...

64d42b37275c702180ad5fb5

10.08.2023 03:15:22

Найти частное решение дифференциального уравнения
второго порядка:
#2.9

626fab9a354ab65fb2f43abb

10.08.2023 10:15:41

2.8. y''*y^3 + 49 = 0; y(3) = -7; y'(3) = 1
[m]\frac{d^2y}{dx^2} \cdot y^3 = -49[/m]
y^3*d^2y = -49dx^2
y^3*d(dy) = -49d(dx)
Уравнение с разделенными переменными.
Берем первый интеграл:
[m]\int y^3\ d(dy) = -49\int\ d(dx)[/m]
[m]\frac{y^4}{4}dy = (-49x + C1)\ dx[/m]
y^4 dy = (-196x + 4C1) dx
Берем второй интеграл
[m]\int y^4dy = \int(-196x + 4C1)\ dx[/m]
[m]\frac{y^5}{5} = -196 \cdot \frac{x^2}{2} + 4C1x + C2[/m]
[m]y^5=-490x^2+20C1x+C2[/m]
[m]y=\sqrt[5]{-490x^2+20C1x+C2} = (-490x^2+20C1x+C2)^{1/5}[/m]
[m]y'=\frac{1}{5} \cdot (-490x^2+20C1x+C2)^{-4/5} \cdot (-980x + 20C1)[/m]
[m]y' = \frac{-980x + 20C1}{5(-490x^2+20C1x+C2)^{4/5}}[/m]
Теперь находим С1 и С2 по начальным условиям.
[m]y(3)=(-490 \cdot 9+20C1 \cdot 3+C2)^{1/5} = -7[/m]
[m]y'(3)=\frac{-980 \cdot 3 + 20C1}{5(-490 \cdot 9+20C1 \cdot 3+C2)^{4/5}} = 1[/m]
Из 1 уравнения:
-4410 + 60*C1 + C2 = (-7)^5
Подставляем во знаменатель 2 уравнения:
[m]\frac{-2940 + 20C1}{5(-7)^{4}} = 1[/m]
-2940 + 20C1 = 5*2401 = 12005
20C1 = 12005 + 2940 = 14945
C1 = 14945/20 = 747,25
Подставляем в 1 уравнение:
-4410 + 60*747,25 + C2 = (-7)^5
C2 = -16807 - 44835 + 4410 = -57232
Ответ: [m]y(x)=\sqrt[5]{-490x^2+14945x-57232}[/m]