Задача 72316 Даны координаты точек А и В и радиус...
Условие
Требуется:
1) составить каноническое уравнение эллипса (гиперболы), проходя-
щего через точки А и В, если фокусы эллипса (гиперболы) распо- ложены на оси абсцисс;
2) найти полуоси, фокусы и эксцентриситет эллипса (гиперболы), (уравнения асимптот гиперболы);
3) найтиточкипересеченияэллипса(гиперболы)иокружности;
4) построитьэллипс(гиперболу)иокружность.
Решение
Радиус окружности равен R, как и было сказано. Центр O(0; 0)
Уравнение окружности:
x^2 + y^2 = R^2
Есть две точки A(x1; y1); B(x2; y2)
Нужно построить уравнения эллипса и гиперболы, которые проходят через эти точки, если известно, что фокусы F1(-c; 0); F2(c; 0) ∈ Ox.
Уравнение эллипса:
x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1
Уравнение гиперболы:
x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1
1) Построим сначала эллипс. Так как т. A и B лежат на нем, то:
{ x1^2/a^2 + y1^2/b^2 = 1
{ x2^2/a^2 + y2^2/b^2 = 1
Из этой системы нетрудно найти a^2 и b^2 - квадраты полуосей.
[m]a^2=\frac{x2^2 \cdot y1^2-x1^2 \cdot y2^2}{x2^2-x1^2}[/m]
[m]b^2=\frac{x1^2 \cdot y2^2-x2^2 \cdot y1^2}{y2^2-y1^2}[/m]
Теперь ищем точки пересечения окружности и эллипса:
{ x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1
{ x^2 + y^2 = R^2
Здесь a^2; b^2; R^2 нам уже известны, находим x и y.
Здесь бывает 0, 2 или 4 точки пересечения.
Причем 0 точек - если a^2 < R^2 и b^2 < R^2
Или наоборот, если a^2 > R^2 и b^2 > R^2
2 точки - если a^2 = R^2 или b^2 = R^2
И 4 точки - если a^2 < R^2 и b^2 > R^2
Или наоборот, если a^2 > R^2 и b^2 < R^2
2) Гипербола. Здесь всё тоже самое, только знак минус:
{ x1^2/a^2 - y1^2/b^2 = 1
{ x2^2/a^2 + y2^2/b^2 = 1
Как ни странно, квадраты полуосей находятся точно также:
[m]a^2=\frac{x2^2 \cdot y1^2-x1^2 \cdot y2^2}{x2^2-x1^2}[/m]
[m]b^2=\frac{x1^2 \cdot y2^2-x2^2 \cdot y1^2}{y2^2-y1^2}[/m]
Теперь ищем точки пересечения окружности и гиперболы:
{ x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1
{ x^2 + y^2 = R^2
Здесь a^2; b^2; R^2 нам уже известны, находим x и y.
Здесь тоже бывает 0, 2 или 4 точки пересечения.
Причем у гиперболы количество точек зависит только от a и R.
2 точки - если a^2 = R^2 и 0 точек - если a^2 > R^2.
В остальных случаях будет 4 точки пересечения.