Задача 72311 а) Решите уравнение...
Условие
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-7Pi/2; -2Pi]
Решение
Формулы синуса и косинуса противоположного аргумента:
sin(-x) = - sin x; cos(-x) = cos x
Формула синуса двойного аргумента:
sin(2x) = 2sin x*cos x
а) Решаем уравнение. Переносим всё налево:
2sin x*cos x + 2sin x - cos x - 1 = 0
Раскладываем на множители:
2sin x*(cos x + 1) - 1(cos x + 1) = 0
(2sin x - 1)(cos x + 1) = 0
Если произведение равно 0, то один из множителей равен 0:
1) 2sin x - 1 = 0
2sin x = 1
sin x = 1/2
x = (-1)^n*arcsin(1/2) + π*n; n ∈ Z
[b]x1 = (-1)^n*π/6 + π*n; n ∈ Z[/b]
2) cos x + 1 = 0
cos x = -1
[b]x2 = π + 2π*k; k ∈ Z[/b]
б) На промежутке [-7π/2; -2π] будут корни:
x1 = -π/6 - 3π = -19π/6
x2 = π - 4π = -3π
Можно и 10 и 11 решить.
10. f(x) = k/x; g(x) = c/x + d
Если внимательно посмотреть на графики функций, то ясно,
что f(x) - нижний, g(x) - верхний.
Нижний график проходит через точки (2; -6) и (6; -2).
Подставляем:
{ -6 = k/2
{ -2 = k/6;
отсюда k = -12.
[b]f(x) = -12/x[/b]
Верхний график проходит через точки (2; -1) и (4; 0)
Подставляем:
{ -1 = c/2 + d
{ 0 = c/4 + d
Решаем:
{ 2c + d = -2
{ c = -4d
Получаем:
-8d + d = -2
d = 2/7
c = -4d = -8/7
[b]g(x) = -8/(7x) + 2/7[/b]
Найдем точку их пересечения, для этого приравняем правые части:
-12/x = -8/(7x) + 2/7
-84 = -8 + 2x
2x = -84 + 8 = -76
[b]x = -76/2 = -38[/b]
f(x) = -12/x = -12/(-38) = 12/38 = 6/19
g(x) = -8/(7x) + 2/7 = 8/(7*38) + 2/7 =
= 4/(7*19) + 38/(7*19) = 42/(7*19) = 6/19
Все правильно.
Ответ: Абсцисса точки пересечения: -38.
11. y = 15 + 21x - 4x*sqrt(x)
Найти точку максимума функции.
Экстремумы функции находятся в точках, где производная равна 0.
Запишем квадратный корень в виде показателя степени:
y = -4x*x^(1/2) + 21x + 15
y = -4x^(3/2) + 21x + 15
y' = -4*3/2*x^(1/2) + 21 = 0
-6sqrt(x) + 21 = 0
6sqrt(x) = 21
sqrt(x) = 21/6 = 7/2
x = (7/2)^2 = 49/4 = 12,25
y(49/4) = -4*49/4*7/2 + 21*49/4 + 15 = -343/2 + 1029/4 + 15 =
= -686/4 + 1029/4 + 60/4 = (1089 - 686)/4 = 403/4 = 100,75
Получили:
[b]x = 49/4 = 12,25
y = 403/4 = 100,75[/b]
Ответ: (12,25; 100,75)