Задача 72305 ...
Условие
Решение
М1 (3;4)
Производная по направлению:
[m]\frac{ ∂z }{ ∂l }=\frac{ ∂z }{ ∂x }cos α +\frac{ ∂z }{ ∂y }cos β [/m]
Направление задано вектором
[m]\vec{MM_{1}}=(3-1;4-1)=(2;3)[/m]
Находим направляющие косинусы этого вектора:
[m]cos α =\frac{2}{\sqrt{2^2+3^2}}=\frac{2}{\sqrt{13}}[/m];
[m]cos β =\frac{3}{\sqrt{2^2+3^2}}=\frac{3}{\sqrt{13}}[/m];
Находим частные производные
[m]\frac{ ∂z }{ ∂x }=(3x^2y–3xy+5)`_{x}=6xy-3y[/m]
[m]\frac{ ∂z}{ ∂y }=(3x^2y–3xy+5)`_{y}=3x^2-3x[/m]
Находим частные производные в точке M(1;1):
[m]\frac{ ∂z }{ ∂x }|_{M}=6\cdot 1\cdot 1-3\cdot 1=3[/m]
[m]\frac{ ∂z }{ ∂y }|_{M}=3\cdot 1^2-3\cdot 1 =0[/m]
Производная по направлению[m]\vec{MM_{1}})[/m] в точке M
[m]\frac{ ∂u }{ ∂l }=3\cdot \frac{2}{\sqrt{13}}+0\cdot \frac{3}{\sqrt{13}} =\frac{6}{\sqrt{13}} [/m]