Задача 72301 ...
Условие
(x2 + 2a2 – 4x –a4 +3) √(x2–7x+6)≤0 имеет ровно 4 целых решения.
Решение
Область определения:
x^2 - 7x + 6 ≥ 0
(x - 1)(x - 6) ≥ 0
x ∈ (-oo; 1) U (6; +oo)
Заметим, что корень - арифметический, то есть неотрицательный.
Поэтому [m]\sqrt{x^2-7x+6} > 0[/m] при всех x из области определения, кроме двух точек: [b]x1 = 1; x2 = 6[/b].
В этих двух точках корень равен 0, а значит, неравенство выполнено.
Это два решения неравенства, которые не зависят от значения а.
Это значит, что осталось решить неравенство:
x^2 + 2a^2 - 4x - a^4 + 3 ≤ 0
И найти все а, при которых оно имеет ровно 2 целых решения.
Решаем, как обычное квадратное неравенство:
x^2 - 4x + (-a^4 + 2a^2 + 3) ≤ 0
D/4 = (-2)^2 - 1(-a^4 + 2a^2 + 3) = a^4 - 2a^2 + 1 = (a^2 - 1)^2
При а = 1 и а = -1 будет D/4 = 0, и всего одно решение:
[b]x = 2[/b]
Но оно не входит в область определения.
При D/4 > 0 будет:
[b]x3 = 2 - (a^2 - 1) = 3 - a^2
x4 = 2 + (a^2 - 1) = a^2 + 1[/b]
Имеем два варианта:
1) x3 ≥ x4
3 - a^2 ≥ a^2 + 1
a^2 ≤ 2
a^2 ∈ [0; 2]
x ∈ [a^2 + 1; 3 - a^2]
При a^2 = 0 и a^2 = 2 получается промежуток:
x ∈ [1; 3]
Но из этого отрезка в область определения входит только число 1.
Нам это не подходит.
2) x4 > x3
Тогда должно быть так:
{ 3 - a^2 ≤ 1
{ a^2 + 1 ≥ 6
Решаем:
{ a^2 ≥ 2
{ a^2 ≥ 5
При |a| > sqrt(5) получаем два промежутка:
x3 ∈ [3 - a^2; 1]
x4 ∈ [6; a^2 + 1]
Чтобы всего получилось 4 целых корня, должно быть так:
{ 3 - a^2 ∈ (-2; 1]
{ a^2 + 1 ∈ [6; 7)
Заметим, что при a^2 = 4 будет:
3- a^2 = 3 - 4 = -1, x3 ∈ [-1; 1]; x4 = 6; всего 4 целых корня: -1; 0; 1; 6
При a^2 = 5 будет:
3 - a^2 = 3 - 5 = -2; x3 ∈ [-2; 1]; x4 = 6
Поэтому
[b]Ответ: a ∈ (-sqrt(5); -2] U [2; sqrt(5))[/b]