Задача 72296 Число 27 = х + у представьте в виде...

64be2240b846e16d4fa4c7c7

24.07.2023 10:04:30

Число 27 = х + у представьте в виде суммы двух целых слагаемых х и у так, чтобы значение выражения 5х2 + 4у? было наименьшим. В ответе укажите наибольшее из этих слагаемых х или у

626fab9a354ab65fb2f43abb

24.07.2023 16:46:15

★

Нужно представить число 27 в виде суммы двух натуральных чисел
27 = x + y
Так, чтобы выражение f(x; y) = 5x^2 + 4y^2 было наименьшим.
Из первого уравнения получаем:
y = 27 - x
f(x) = 5x^2 + 4(27 - x)^2 = 5x^2 + 4(x^2 - 54x + 729)
Значение функции будет наименьшим в точке, где f'(x) = 0.
f'(x) = 10x + 4(2x - 54) = 18x - 216 = 0
x = 216/18 = 12
y = 27 - 12 = 15
В ответе надо написать наибольшее из чисел x или y.
Ответ: 15

5f3ea7e3faf909182968ddd9

24.07.2023 12:20:58

27 = х + у ⇒ y=27-x



При y=27-x

выражение [b]5x^2+4y [/b] принимает вид:

5x^2+5*(27-x)

5x^2-5x+135

Вопрос задачи:

При каких значениях х выражение 5x^2-5x+135

принимает наименьшее значение


Обозначим

f(x)=5x^2-5x+135

f`(x)=10x-5

f`(x)=0

10x-5=0


10x=5

x=5/10

[b]x=0,5[/b]

5f3eaa23faf909182968dde0

25.07.2023 07:19:10

Так как 27=х+у, то у=27-х, тогда
5x^(2)+4y^(2)=5x^(2)+4*(27-x)^(2)=5x^(2)+4*(729-54x+x^(2))=
=5x^(2)+2916-216x+4x^(2)=9x^(2)-216x+2916.
Рассмотрим функцию f(x)=9x^(2)-216x+2916. Это квадратичная функция, графиком ее является парабола, ветви которой направлены вверх, значит, наименьшее значение функции будет в вершине параболы. Найдем абсциссу вершины параболы:
х=216/18=12.
Тогда у=27-12=15 и получаем:
27=12+15.
Наибольшее слагаемое 15.
Ответ: 15.