Задача 72292 Найти уравнения касательной плоскости и...

641174128cfb9210f616c190

23.07.2023 23:16:17

Найти уравнения касательной плоскости и нормали заданной поверхности S в точке М0.

626fab9a354ab65fb2f43abb

24.07.2023 18:35:59

★

x^2 + y^2 + z^2 - xy + 3z - 7 = 0; M0(1; 2; 1)
Уравнение касательной плоскости в точке M0:
F'_(x)(M0)*(x - x0) + F'_(y)(M0)*(y - y0) + F'_(z)(M0)*(z - z0) = 0
Частные производные по переменным:
F'_(x) = 2x - y; F'_(x)(M0) = 2*1 - 2 = 0
F'_(y) = 2y - x; F'_(y)(M0) = 2*2 - 1 = 3
F'_(z) = 2z + 3; F'_(z)(M0) = 2*1 + 3 = 5
Уравнение касательной плоскости:
0(x - 1) + 3(y - 2) + 5(z - 1) = 0
3y + 5z - 11 = 0
Каноническое уравнение нормали в точке M0:
[m]\frac{x-x0}{F'_{x}(M0)} = \frac{y-y0}{F'_{y}(M0)} = \frac{z-z0}{F'_{z}(M0)}[/m]
[m]\frac{x-1}{0} = \frac{y-2}{3} = \frac{z-1}{5}[/m]
В данном случае 0 в знаменателе - законный, это не ошибка.
Это означает, что прямая перпендикулярна оси Ox и пересекает ее в точке x = 1..