Задача 72291 Вычислить значение производной сложной...
Условие
Решение
[m]\frac{du}{dt} = \frac{du}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} + \frac{du}{dy} \cdot \frac{dy}{dt}[/m]
[m]\frac{dx}{dt} = (ln(t - 1))'_{t} = \frac{1}{t-1}[/m]
[m]\frac{dy}{dt} = (e^{t/2})'_{t} = \frac{1}{2} \cdot e^{t/2}[/m]
[m]\frac{du}{dx} = (y^{x})'_{x} = y^{x} \cdot ln(y)[/m]
[m]\frac{du}{dy} = (y^{x})'_{y} = x \cdot y^{x-1}[/m]
[m]\frac{du}{dt} = y^{x} \cdot ln(y) \cdot \frac{1}{t-1} + x \cdot y^{x-1} \cdot (\frac{1}{2} \cdot e^{t/2}) [/m]
[m]\frac{du}{dt} = y^{x} \cdot ln(y) \cdot \frac{1}{t-1} + \frac{x}{2} \cdot y^{x-1} \cdot e^{t/2}[/m]
При t0 = 2 получается:
x(2) = ln(2 - 1) = ln(1) = 0; y(2) = e^(2/2) = e ≈ 2,718
[m]\frac{dx}{dt}(2) = \frac{1}{2-1} = 1[/m]
[m]\frac{dy}{dt}(2) = \frac{1}{2} \cdot e^{2/2} = \frac{e}{2} ≈ \frac{2,718}{2} = 1,359[/m]
[m]\frac{du}{dx}(2) = y^{x} \cdot ln(y) = e^0 \cdot ln(e) = 1 \cdot 1 = 1[/m]
[m]\frac{du}{dy}(2) = 0 \cdot e^{0-1} = 0[/m]
Подставляем всё это в формулу производной:
[m]\frac{du}{dt}(2) = \frac{du}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} + \frac{du}{dy} \cdot \frac{dy}{dt} = 1 \cdot 1 + 0 \cdot \frac{e}{2} = 1+0 = 1[/m]
Ответ: [m]\frac{du}{dt} = y^{x} \cdot ln(y) \cdot \frac{1}{t-1} + \frac{x}{2} \cdot y^{x-1} \cdot e^{t/2}[/m]
[m]\frac{du}{dt}(2) = 1[/m]