Задача 72267 Найдите все значения параметра a, при...
Условие
ax - |sqrt(x-2) - 2| = 1-2a
имеет ровно два решения.
Решение
Область определения:
x - 2 ≥ 0
x ≥ 2
Отделяем модуль от остального:
ax + 2a - 1 = |sqrt(x-2) - 2|
Возможно два варианта:
1) sqrt(x-2) - 2 < 0, то есть
sqrt(x-2) ∈ [0; 2)
x - 2 ∈ [0; 4)
x ∈ [2; 6), тогда
|sqrt(x-2) - 2| = 2 - sqrt(x-2)
Подставляем в уравнение:
ax + 2a - 1 = 2 - sqrt(x-2)
sqrt(x-2) = 3 - 2a - ax
2a + ax = 3 - sqrt(x-2)
a = (3 - sqrt(x-2))/(x+2)
При x = 2 будет:
a = (3 - 0)/(2 + 2) = 3/4
При x = 6 будет:
a = (3 - sqrt(4))/(6+2) = (3 - 2)/8 = 1/8
При этом функция уменьшается, чем больше x, тем меньше а.
Значит, a ∈ (1/8; 3/4]
Возводим уравнение в квадрат:
x - 2 = (3 - 2a - ax)^2
x - 2 = 9 - 12a + 4a^2 - 6ax + a^2x^2 + 4a^2x
a^2*x^2 + (4a^2 - 6a - 1)*x + (4a^2 - 12a + 11) = 0
Это квадратное уравнение должно иметь 2 решения.
D = (4a^2 - 6a - 1)^2 - 4a^2*(4a^2 - 12a + 11) =
= 16a^4 - 48a^3 + 36a^2 - 8a^2 + 12a + 1 -
- (16a^4 - 48a^3 + 44a^2) = 72a^2 + 12a + 1
Два решения будет при D > 0
72a^2 + 12a + 1 > 0
D1 = 12^2 - 4*72*1 = 144 - 288 = -144 < 0
Значит, дискриминант D > 0 при любом [b]a ∈ (1/8; 3/4][/b]
В этом варианте на этом промежутке есть 2 корня.
2) sqrt(x-2) - 2 ≥ 0, то есть
sqrt(x-2) ≥ 2
x - 2 ≥ 4
x ≥ 6, тогда
|sqrt(x-2) - 2| = sqrt(x-2) - 2
Подставляем в уравнение:
ax + 2a - 1 = sqrt(x-2) - 2
a(x+2) = sqrt(x-2) - 1
a = (sqrt(x-2) - 1)/(x+2)
При x = 6 будет:
a= (sqrt(4) - 1)/(6+2) = (2-1)/(6+2) = 1/8
При этом функция уменьшается, чем больше x, тем меньше а.
При неограниченном увеличении x параметр а будет стремиться к 0.
Значит, a ∈ (0; 1/8]
Возводим уравнение в квадрат:
x - 2 = (ax + 2a + 1)^2
x - 2 = a^2x^2 + 4a^2x + 4a^2 + 2ax + 4a + 1
a^2*x^2 + (4a^2 + 2a - 1)*x + (4a^2 + 4a - 3) = 0
Это квадратное уравнение должно иметь 2 решения.
D = (4a^2 + 2a - 1)^2 - 4a^2*(4a^2 + 4a - 3) =
= 16a^4 + 16a^3 + 4a^2 - 8a^2 - 4a + 1 -
- (16a^4 + 16a^3 - 12a^2) = 8a^2 - 4a + 1
Два решения будет при D > 0
8a^2 - 4a + 1 > 0
D1 = (-4)^2 - 4*8*1 = 16 - 32 = -16 < 0
Значит, дискриминант D > 0 при любом [b]a ∈ (0; 1/8][/b]
В этом варианте на этом промежутке есть 2 корня.
Таким образом, мы получили, что при a ∈ (0; 1/8] будет 2 корня во 2 варианте и при a ∈ (1/8; 3/4] будет 2 корня в 1 варианте.
Значит, при любом a ∈ (0; 3/4] уравнение будет иметь 2 решения.
Ответ: При a ∈ (0; 3/4].