Задача 72265 Решите неравенство log(0.2)(x-2) /...
Условие
log(0.2)(x-2) / (4^x-8)(|x|-5) > 0.
В ответе укажите количество целых решений без пробелов и каких-либо дополнительных символов.
Решение
Неравенство определено при
x-2 >0
[b]x>2[/b]
Находим нули числителя:
[m]log_{0,2}(x-2)=0[/m] ⇒ x-2=1;
x=3
Находим нули знаменателя:
4^(x)-8=0
x=log_(4)8
log_(4)4<log_(4)8<log_(4)16
1<log_(4)8<2
x=log_(4)8 не удовлетворяет условию [b]x>2[/b]
|x|-5=0
x= ± 5
x=-5 не удовлетворяет условию [b]x>2[/b]
Расставляем знаки:
О т в е т. [3;5)
Все решения
Я задание прочитал на телефоне, а ответ пишу на ноутбуке, потому что на телефоне вводить формулы очень неудобно.
[m]\frac{\log_{0,2}(x-2)}{(4^{x}-8)(|x|-5)} ≥ 0[/m]
Область определения:
{ x - 2 > 0 ⇒ x > 2
{ 4^(x) - 8 ≠ 0
{ |x| - 5 ≠ 0
Из 2-го условия:
2^(2x) ≠ 2^3, отсюда 2x ≠ 3, то есть x ≠ 1,5
Так как из 1-го условия x > 2, то 2 условие выполняется всегда.
Из 3 условия: x ≠ -5; x ≠ 5
Область определения:
x ∈ (2; 5) U (5; +oo)
Разберём каждую скобку отдельно.
1) log_(0,2) (x-2) ≥ 0
Так как 0,2 ∈ (0; 1), то функция y = log_(0,2)(x) - убывающая.
Поэтому из неравенства:
log_(0,2) (x-2) ≥ log_(0,2) (1)
Следует неравенство:
x - 2 ≤ 1
x ≤ 3
x ∈ (2; 3]
2) 4^(x) - 8 > 0
x > 1,5
Так как область определения: x > 2,
то это неравенство выполняется всегда.
3) |x| - 5 > 0
x > 5
Получаем:
[m]\frac{\log_{0,2}(x-2)}{(4^{x}-8)(|x|-5)} ≥ 0[/m]
1) При x ∈ (2; 3] будет:
{ log_(0,2) (x-2) ≥ 0
{ 4^(x) - 8 > 0
{ |x| - 5 < 0
Вся дробь ≤ 0
Поэтому из промежутка (2; 3] подходит только x = 3,
при котором дробь равна 0.
2) При x ∈ (3; 5) будет:
{ log_(0,2) (x-2) < 0
{ 4^(x) - 8 > 0
{ |x| - 5 < 0
Вся дробь > 0, нам это подходит.
3) При x > 5 будет:
{ log_(0,2) (x-2) < 0
{ 4^(x) - 8 > 0
{ |x| - 5 > 0
Вся дробь < 0, нам это не подходит.
Ответ: x ∈ [3; 5)