Задача 72264 В правильней треугольной призме со...

64b63eeeb71510780ad1354c

18.07.2023 10:29:48

В правильней треугольной призме со стороной основания равной ... выстой равной 2 проведено сечение через прямую ВС которое делит призму ....

626fab9a354ab65fb2f43abb

18.07.2023 13:47:44

★

Я не знаю, каким на самом деле будет это сечение, предполагаю, что примерно таким, как показано на рисунке.
Сечение - плоскость BCM1N1.
Стороны призмы:
AB = BC = AC = A1B1 = B1C1 = A1C1 = a = 1 + sqrt(3) см
AA1 = BB1 = CC1 = h = 2 см

Площадь основания призмы:
S1 = a^2*sqrt(3)/4 = (1+sqrt(3))^2*sqrt(3)/4 = (1 + 2sqrt(3) + 3)*sqrt(3)/4 =
= (4 + 2sqrt(3))*sqrt(3)/4 = (4sqrt(3) + 6)/4 = sqrt(3) + 1,5 см^2
Объём призмы:
V(пр) = S1*h = (sqrt(3) + 1,5)*2 = 2sqrt(3) + 3 см^3

Сечение разделило призму пополам, объём каждой части:
V1 = V2 = V(пр)/2 = (2sqrt(3) + 3)/2 = sqrt(3) + 1,5 см^3
Каждая из частей - это усечённая пирамида.
Проще посчитать объём пирамиды ABCA1N1M1.
Очевидно, что треугольник A1N1M1 - равносторонний, со стороной b, которая пока неизвестна.
Площадь этого основания:
S2 = b^2*sqrt(3)/4
Объём усеченной пирамиды:
V1 = V(усп) = h/3*(S1 + S2 + sqrt(S1*S2))
Подставляем известные величины:
sqrt(3) + 1,5 = 2/3*(sqrt(3) + 1,5 + b^2*sqrt(3)/4 + sqrt((sqrt(3) + 1,5)*b^2*sqrt(3)/4))
3/2*(sqrt(3) + 1,5) = (sqrt(3) + 1,5) + b^2*sqrt(3)/4 + b/2*sqrt((sqrt(3) + 1,5)sqrt(3))
0,5*(sqrt(3) + 1,5) = b^2*sqrt(3)/4 + b/2*sqrt(3 + 1,5sqrt(3))
Умножаем всё на 4:
2(sqrt(3) + 1,5) = b^2*sqrt(3) + 2b*sqrt(3 + 1,5sqrt(3))
Раскрываем скобки и вносим 2^2 = 4 под большой корень:
2sqrt(3) + 3 = b^2*sqrt(3) + b*sqrt(12 + 6sqrt(3))
Выносим sqrt(3) из-под большого корня:
2sqrt(3) + 3 = b^2*sqrt(3) + b*sqrt(3)*sqrt(4 + 2sqrt(3))
Делим всё уравнение на sqrt(3):
2 + sqrt(3) = b^2 + b*sqrt(4 + 2sqrt(3))
Заметим, что:
4 + 2sqrt(3) = 3 + 2sqrt(3) + 1 = (sqrt(3) + 1)^2
Поэтому:
2 + sqrt(3) = b^2 + b*(sqrt(3) + 1)
b^2 + b*(sqrt(3) + 1) - (sqrt(3) + 2) = 0
Получили квадратное уравнение.
D = (sqrt(3) + 1)^2 + 4(sqrt(3) + 2) = 4 + 2sqrt(3) + 4sqrt(3) + 8 =
= 12 + 6sqrt(3) = 9 + 2*3sqrt(3) + 3 = (3 + sqrt(3))^2
b = (-sqrt(3) - 1 + 3 + sqrt(3))/2 = 2/2 = 1
Получилось, что A1M1 = A1N1 = M1N1 = 1 см

Сечение представляет собой равнобедренную трапецию BCM1N1.
Основания трапеции нам известны:
M1N1 = 1 см; BC = 1 + sqrt(3) см
Чтобы найти площадь сечения, нужно найти высоту трапеции EF1.
Проведём проекцию отрезка M1N1 на основание, получим MN.
Высота, она же медиана и биссектриса треугольника ABC:
AE = a*sqrt(3)/2 = (1 + sqrt(3))*sqrt(3)/2 = (sqrt(3) + 3)/2
Так как плоскость A1B1C1 || ABC, то MN = M1N1 = 1 см.
Так как MN || BC, то отношение отрезков:
AE : BC = AF : MN
[m]AF = \frac{AE \cdot MN}{BC} = \frac{(\sqrt{3} + 3) \cdot 1}{2(1 + \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{3}(1+\sqrt{3})}{2(1+\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{3}}{2}[/m] см
FE = AE - AF = (sqrt(3) + 3)/2 - sqrt(3)/2 = 3/2 = 1,5 см
FF1 = AA1 = 2 см
Из теоремы Пифагора:
EF1^2 = FE^2 + FF1^2 = 1,5^2 + 2^2 = 2,25 + 4 = 6,25
EF1 = sqrt(6,25) = 2,5 см

Площадь сечения:
[b]S(сеч) = (BC + MN)/2*EF1 = (1 + sqrt(3) + 1)/2*5/2 = 5(2 + sqrt(3))/4 см^2[/b]

Ответ: 5