Задача 72249 Найдите все значения параметра a, при...
Условие
Решение
{[m]y=\frac{a-4}{x}[/m]
решаем систему способом подстановки:
[m]x^2+(\frac{a-4}{x})^2=2a[/m]
[m]x^4-2a\cdot x^2+(a-4)^2=0[/m] - биквадратное уравнение с параметром
2a ≥ 0
D=(-2a)^2-4*(a-4)^2=4a^2-4a^2+32a-64=32*(a-2)
D ≥ 0
Если D >0, т.е a > 2
x^2=a ± 2sqrt(2(a-2))
Получаем два квадратных уравнения:
x^2=a + 2sqrt(2(a-2)) или x^2=a - 2sqrt(2(a-2))
Первое имеет два корня при любом а >2
Второе не должно иметь корней, это будет возможно, если
a - 2sqrt(2(a-2)) <0,
т.е.
2sqrt(2(a-2)) >a ⇒ 4*(2a-4) > a^2
a^2-8a+16 <0 ни при каких а
Значит система имеет 4 решения при любом [b] а > 2[/b]
Все решения
{ 2xy = 2a - 8
Система должна иметь два решения.
Из 1 уравнения ясно, что a ≥ 0, потому что сумма квадратов неотрицательна при любых значениях x и y.
Из 1 уравнения вычитаем 2 уравнение
x^2 + y^2 - 2xy = 2a - 2a + 8
(x - y)^2 = 8
x - y = ± sqrt(8)
Два варианта:
1) x = y - sqrt(8)
2) x = y + sqrt(8)
{ (y ± sqrt(8))^2 + y^2 = 2a
{ 2y(y ± sqrt(8)) = 2a - 8
Раскрываем скобки:
{ y^2 ± 2ysqrt(8) + 8 + y^2 = 2a
{ 2y^2 ± 2ysqrt(8) = 2a - 8
Уравнения получились одинаковые, делим их на 2:
y^2 ± ysqrt(8) = a - 4
y^2 ± 2sqrt(2)*y + (4 - a) = 0
Так как у нас два варианта: 1) x = y - sqrt(8); 2) x = y + sqrt(8)
То в каждом варианте уравнение должно иметь 1 корень.
D/4 = ( ± sqrt(2))^2 - 1(4 - a) = 2 - 4 + a = a - 2
Это уравнение будет иметь 1 корень, если D/4 = 0
То есть при а = 2.
Ответ: При a = 2 система имеет 2 решения.