Задача 72248 Найти общий интеграл дифференциального...
Условие
y' = (x+y) / (x-y)
Решение
[m]y'=\frac{x+y}{x-y}[/m]
Это тоже однородное уравнение, решается заменой:
u = y/x; y = u*x; y' = u'*x + u*x' = u'*x + u
Подставляем:
[m]u' \cdot x + u = \frac{x+ux}{x-ux}= \frac{1+u}{1-u}[/m]
[m]\frac{du}{dx} \cdot x = \frac{1+u}{1-u} - u = \frac{1+u-u+u^2}{1-u}= \frac{1+u^2}{1-u}[/m]
[m]\frac{1-u}{1+u^2} \cdot du = \frac{dx}{x}[/m]
Получили уравнение с разделенными переменными.
Правый интеграл табличный:
[m]\int \frac{dx}{x} = ln|x| + ln(C)[/m]
С левым чуть сложнее:
[m]\int \frac{1-u}{1+u^2}du = \int \frac{1}{1+u^2}du - \int \frac{u}{1+u^2}du = arctg(u) - \int \frac{u}{1+u^2}du[/m]
Дальше решается заменой 1 + u^2 = t; dt = 2u du
[m]arctg(u) - \int \frac{u\ du}{1+u^2} = arctg(u) - \frac{1}{2} \int \frac{dt}{t}= arctg(u) - \frac{1}{2} \ln |t| = arctg(\frac{y}{x}) - \frac{1}{2} \ln |1+\frac{y^2}{x^2}|[/m]
Получаем неявное уравнение функции:
[m]arctg(\frac{y}{x}) - \ln \sqrt{1+\frac{y^2}{x^2}} = \ln|x| + \ln(C)[/m]
Все решения
1) y'=x+y/x-y = y=x+y/x-y,x≠y
2) y=x+y/x-y,x≠y = (x-y)y=x+y
3) (x-y)y=x+y = yx-y²=x+y
4) yx-y²=x+y = yx-x=y+y²
5) yx-x=y+y² = (y-1)x=y+y²
6) (y-1)x=y+y² = x=y+y²/y+1,y-1≠0
7) x=y+y²/y+1,y-1≠0 = x=y+y²/y-1,y≠1
8) x=y+y²/y-1,y≠1 = x=y+y²/y-1,y≠1,x≠y
Ответ: x=y+y²/y-1,y≠1,x≠y