Задача 72247 Как решить шестое задание по этому...
Условие
Решение
(a+b)^(n)=C^(0)_(n)a^(n)b^(0)+C^(1)_(n)a^(n-1)b^(1)+C^(2)_(n)a^(n-2)b^2+...+[red]C^(k)_(n)a^(n-k)b^(k)[/red] +...+C^(n)_(n)b^(n)
T_(k)=[red]C^(k)_(n)a^(n-k)b^(k) [/red]
[m]a=\sqrt{\frac{q}{p}}[/m]
[m]b=\sqrt[10]{\frac{p^7}{q^3}}[/m]
По требованию задачи
a^(n-k)b^(k) ∼ pq
[m](\sqrt{\frac{q}{p}})^{n-k}\cdot (\sqrt[10]{\frac{p^7}{q^3}})^{k}∼ pq[/m]
Применяем свойства степени:
при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываем,
при делении - вычитаем
при возведении степени в степень - умножаем.
[m]p^{\frac{7}{10}k-\frac{n-k}{2}}\cdot q^{\frac{n-k}{2}-\frac{3}{10}k}∼ pq[/m]
⇒ приравниваем показатели степеней с одинаковыми основаниями слева и справа:
[m]\left\{\begin {matrix}\frac{7}{10}k-\frac{n-k}{2}=1\\\frac{n-k}{2}-\frac{3}{10}k=1\end {matrix}\right.[/m]
Решаем систему уравнений
[m]\left\{\begin {matrix}7k-5n+5k=10\\5n-5k-3k=10\end {matrix}\right.[/m] ⇒ [m]\left\{\begin {matrix}12k-5n=10\\5n-8k=10\end {matrix}\right.[/m]
Cкладываем:
[m]12k-5n+5n-8k=10+10[/m]
[m]4k=20[/m]
[m]k=5[/m]
Подставляем во второе
[m]5n-8\cdot 5=10[/m]
[m]5n=50[/m]
[m] n=10[/m]
[m]T_{5}=C^{5}_{10}pq=\frac{10!}{5!\cdot (10-5)!}pq=252pq[/m]