Задача 72246 Сторона основания правильной...
Условие
Сторона основания правильной треугольной пирамиды SABC ( S – вершина) равна 8. Точки K и L расположены на рёбрах AB и AC соответственно, причём AK=7 , AL=7. Известно, что для данной пирамиды существует единственный конус, вершина которого совпадает с точкой K , центр основания лежит на прямой SC , а отрезок KL является одной из образующих. Найдите объём этого конуса
Решение
A(0;0)
C(8;0)
B(4;4sqrt(3))
Уравнение прямой BC:
[m]\frac{x-4}{8-4}=\frac{y-4\sqrt{3}}{-4\sqrt{3}}[/m] ⇒ [m]\sqrt{3}x+y=8\sqrt{3}[/m]
Точка пересечения прямой АL со стороной АС - это точка пересечения окружности радиуса 7
со стороной АС
Решаем систему уравнений:
{[m]\sqrt{3}x+y=8\sqrt{3}[/m]
{[m]x^2+y^2=49[/m]
Находим координаты точек L_(1) и L_(2) ( см. рис.2)
По условию
" для данной пирамиды существует [b]единственный[/b] конус, вершина которого совпадает с точкой K , центр основания лежит на прямой SC , а отрезок KL является одной из образующих"
Значит, надо оставить одну из точек L_(1) или L_(2), а вторую точку исключить по каким-то причинам.
Пусть P- центр конуса
P ∈ прямой SC
KP - высота конуса
[b]KP ⊥ SC[/b]
Надо составить уравнение прямой SC в пространстве
Затем уравнение перпендикулярной ей прямой, проходящей через точку K
P- точка пересечения прямых SC и KP
V_(конуса)=(1/3)π*R^2*[blue]H[/blue]
R=PL_(1) или R=PL_(2) ( здесь возможно и произойдет исключение одной из точек)
[blue]Н[/blue]=KP
