Задача 72244 Найти все значения а, при которых...
Условие
Решение
{ (x + 2)^2 + 2(a + 2y) + y^2 + z^2 = 0
{ (2 + xyz^2*sqrt(1 - 2xy))*(a*sin^2(z) + x + y) = 0
{ (xy + 1)*tg(x + y) + cos(x - y) = 1
Оставим пока в покое тригонометрию, рассмотрим 1 уравнение.
(x + 2)^2 + 2a + 4y + y^2 + z^2 = 0
(x + 2)^2 + 2a + (y^2 + 4y + 4) - 4 + z^2 = 0
(x + 2)^2 + (y + 2)^2 + z^2 = 4 - 2a
Теперь посмотрим также на 2 и 3 уравнения системы.
Заметим, что x и y - взаимозаменимы.
В 1 уравнении : (x + 2)^2 и (y + 2)^2
Во 2 уравнении : xy и (x + y) - симметричные выражения.
В 3 уравнении : xy, (x + y), cos(y - x) = cos(x - y)
Это означает: если (x0; y0; z0) решение, то (y0; x0; z0) тоже решение.
Поэтому, если решение единственное, то должно быть: [b]x = y[/b].
Подставляем в систему:
{ 2(x + 2)^2 + z^2 = 4 - 2a
{ (2 + x^2z^2*sqrt(1 - 2x^2))*(a*sin^2(z) + 2x) = 0
{ (x^2 + 1)*tg(2x) + cos(0) = 1
Из 2 уравнения получаем область определения для x:
1 - 2x^2 ≥ 0
2x^2 ≤ 1
x^2 ≤ 1/2
[b]x ∈ (-1/sqrt(2); 1/sqrt(2))[/b]
Из 3 уравнения, так как cos(0) = 1, сразу получаем:
(x^2 + 1)*tg(2x) + 1 = 1
(x^2 + 1)*tg(2x) = 0
Так как x^2 + 1 > 0 при любом x, то:
tg(2x) = 0
2x = π*k, k ∈ Z
[b]x = π/2*k, k ∈ Z[/b]
Учитывая область определения x, получаем единственное решение:
[b]x = y = 0[/b]
Все остальные периоды в область определения не входят.
Система превращается в такую:
{ 2*2^2 + z^2 = 4 - 2a
{ (2 + 0)*(a*sin^2(z) + 0) = 0
{ 1*0 + 1 = 1
3 уравнение является тождеством, 1 и 2 упрощаем:
{ z^2 = -4 - 2a
{ 2a*sin^2(z) = 0
Если во 2 уравнении взять a = 0, то из 1 уравнения получится:
z^2 = -4, чего быть не может.
Решение 2 уравнения: [b]z = 0[/b], подставляем в 1 уравнение:
-4 - 2a = 0
[b]a = -2[/b]
Ответ: Единственное решение x = y = z = 0 при а = -2
Все решения
при а=-2