Задача 72242 ...

64afaad32411ce279805d0c6

13.07.2023 10:46:58

Окружность с центром O
вписана в ромб ABCD
, острый угол B
которого равен 60о
. Окружность с центром P
касается стороны CD
ромба и продолжений сторон BC
и AD
за вершины C
и D
соответственно. Найдите площадь S
четырехугольника CPDO
, если известно, что расстояние от вершины B
до точки касания окружности со стороной BC
равно 6
. В ответе укажите значение 3–√⋅S
.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

13.07.2023 16:02:25

★

Диагонали ромба взаимно п[i]ерпендикулярны[/i]
AC ⊥ BD

и являются биссектрисами углов
⇒ ∠ ОВК=30 °

Пусть K- точка касания окружности со стороной BC
⇒
OK ⊥ BC

Δ BOK - прямоугольный, ∠ ОВК=30 °

ОК=sqrt(12)=2sqrt(3)
ВО=2ОК=4sqrt(3)

Из прямоугольного треугольника ВОС:
OC=4

S_(CPDO)=OC*OD=4*4sqrt(3)=16sqrt(3)

О т в е т. sqrt(3)*S=sqrt(3)*16sqrt(3)=[b]48[/b]

626fab9a354ab65fb2f43abb

13.07.2023 16:48:48

Вот рисунок прилагается.
Прямоугольник CPDO имеет стороны CO и DO - половины диагоналей ромба. Его площадь:
S(CPDO) = CO*DO
Зеленым обозначен угол ABC = 60°
Синим обозначены углы прямоугольного треугольника BOC
OBC = 30°, OCB = 60°
Обозначим H точку касания ромба и окружности.
Проведем радиус OH = R.
Сторона BH = 6 - это катет,
BO = BH/cos 30° = 6/(sqrt(3)/2) = 4sqrt(3) - это гипотенуза.
R = OH = BO*sin 30° = 4sqrt(3)*1/2 = 2sqrt(3) - это второй катет.
В прямоугольном треугольнике COH тот же R = 2sqrt(3) - это катет.
CO = OH/sin 60° = 2sqrt(3)/(sqrt(3)/2) = 4 - это гипотенуза.
Таким образом, мы получили:
BO = 4sqrt(3); DO = BO = 4sqrt(3); CO = 4
S = DO*CO = 4sqrt(3)*4 = 16sqrt(3)

Ответ: sqrt(3)*S = sqrt(3)*16sqrt(3) = 16*3 = 48