Задача 72240 ...

64afaad32411ce279805d0c6

13.07.2023 10:45:59

Найдите корень уравнения 2cos(5π2−x)−sin2x+2cos2x=1
, принадлежащий отрезку [2π;3π]
. (Ответ дайте в градусах, единицы измерения в ответе не указывать).

626fab9a354ab65fb2f43abb

13.07.2023 17:19:34

★

2cos(5π/2 - x) - sin^2 x + 2cos^2 x = 1; x ∈ [2π; 3π]
1) По формулам приведения: cos(5π/2 - x) = cos(π/2 - x) = sin x
2) Основное тригонометрическое тождество: sin^2 x + cos^2 x = 1
Подставляем всё это в уравнение:
2sin x - sin^2 x + 2cos^2 x = 1
2sin x = 1 + sin^2 x - 2cos^2 x
2sin x = 1 + sin^2 x - 2 + 2sin^2 x
2sin x = 3sin^2 x - 1
3sin^2 x - 2sin x - 1 = 0
Получили квадратное уравнение относительно sin x
(sin x - 1)(3sin x + 1) = 0
sin x = 1
x1 = π/2 + 2π*k; k ∈ Z
sin x = -1/3
x2 = -arcsin(1/3) + 2π*n; n ∈ Z
x3 = π + arcsin(1/3) + 2π*n; n ∈ Z
На промежутке [2π; 3π] находится один корень:
x0 = π/2 + 2π = 5π/2 = 450°

Ответ: 450