Задача 72232 В течение года цена на...

64ae7b5282dceb017d6afb49

12.07.2023 13:08:05

В течение года цена на электрооборудование повышалась трижды, каждый раз на одно и то же число процентов. После второго повышения цена возросла на 42 тыс. рублей по сравнению с первоначальной, а после третьего повышения она стала больше первоначальной на 66.2 тыс, рублей. Определите первоначальную цену электрооборудования.

626fab9a354ab65fb2f43abb

12.07.2023 14:05:38

★

Пусть начальная цена оборудования была N руб,
а повышалась она каждый раз на x%. Тогда:
После первого повышения цена стала:
N1 = N*(1 + x/100)
После второго повышения цена стала:
N2 = N*(1 + x/100)^2 = N + 42000
N*(1 + 2x/100 + x^2/10000) = N + 42000
2Nx/100 + Nx^2/10000 = 42000
Выносим Nx/100 за скобки:
Nx/100*(2 + x/100) = 42000
Nx/100 = 42000/(2 + x/100) [b](1)[/b]

После третьего повышения цена стала:
N3 = N*(1 + x/100)^3 = N + 66200
Вычитаем из 3 уравнения 2 уравнение:
N*(1 + x/100)^3 - N*(1 + x/100)^2 = N + 66200 - N - 42000
N*(1 + x/100)^2*(1 + x/100 - 1) = 24200
Но N*(1 + x/100)^2 = N + 42000
(N + 42000)*x/100 = 24200
Nx/100 + 420x = 24200
Nx/100 = 24200 - 420x [b](2)[/b]

Мы получили выражение Nx/100 двумя способами: [b](1)[/b] и [b](2)[/b].
Приравниваем правые части этих выражений:
42000/(2 + x/100) = 24200 - 420x
(24200 - 420x)*(2 + x/100) = 42000
48400 + 242x - 840x - 4,2x^2 = 42000
-4,2x^2 - 598x + 6400 = 0
Умножаем на -5, переходим к целым числам:
21x^2 + 2990x - 32000 = 0
D = 2990^2 - 4*21(-32000) = 11628100 = 3410^2
x1 = (-2990 - 3410)/42 < 0 - не подходит
x2 = (-2990 + 3410)/42 = 420/42 = 10

Повышение каждый раз составляло 10%.
Подставляем найденный x в уравнение:
Nx/100 = 24200 - 420x
N*10/100 = 24200 - 420*10
N/10 = 24200 - 4200 = 20000
N = 20000*10 = 200000 рублей
Ответ: Начальная цена оборудования N = 200 тыс. руб.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

12.07.2023 13:47:17

Пусть первоначальная цена электрооборудования - х тыс руб
После первого повышения цены на p%
получаем новую цену
x+0,01p*x=(1+0,01p)*x тыс. рублей
После второго повышения цены на p%
получаем новую цену
(1+0,01p)*x+0,01*(1+0,01p)*x=(1+0,01p)^2*x тыс. рублей

После второго повышения цена возросла на 42 тыс. рублей по сравнению с первоначальной
Уравнение:
[b](1+0,01p)^2*x - х = 42[/b]

После второго повышения цены на p%
получаем новую цену
(1+0,01p)^3*x тыс. рублей

После третьего повышения цена возросла на 66,2 тыс. рублей по сравнению с первоначальной
Уравнение:
[b](1+0,01p)^3*x - х = 66,2[/b]

Решаем систему уравнений:

{[b](1+0,01p)^2*x - х = 42[/b]
{[b](1+0,01p)^3*x - х = 66,2[/b]

Замена переменной:

1+0,01*p=k



{[b]k^2*x = 42+x[/b]
{[b]k^3*x = 66,2+x[/b]

исключаем x

{x=42/(k^2-1)
{x=66,2/(k^3-1)

42/(k^2-1)=66,2/(k^3-1)

42/(k-1)(k+1)=66,2/(k-1)(k^2+k+1)

42*(k^2+k+1)=66,2*(k+1)

42k^2-24,2k-24,2=0

21k^2-12,1k-12,1=0

[blue][b]D=12,1^2-4*21*(-12,1)=12,1*(12,1+84)=12,1*96,1=(1,1*1,1*10)*(3,1*3,1*10)=(1,1*3,1*10)^2=34,1^2[/b][/blue]

k=(12,1+34,1)/42=46,2/42=[b]1,1[/b]


[b]k^2*x = 42+x[/b]

1,1^2*x=42+x

x=42/0,21[b]=200[/b]

О т в е т. 200 тыс руб