Задача 72231 Найти сумму значений параметра р, при...
Условие
Решение
Так как у нас 2 модуля, то получается 4 варианта:
[b]1 случай.[/b]
x ≤ 8; тогда |x - 8| = 8 - x
|8 - x - 2| = px + 6
|6 - x| = px + 6
1а) x < 6, тогда |6 - x| = 6 - x
6 - x = px + 6
-x = px
0 = x + px
x(p + 1) = 0
При p = -1 будет x ∈ (-oo; +oo). Нам это не подходит.
При [b]p ≠ -1[/b] будет [b]x1 = 0[/b] < 6 - подходит. Это 1 решение.
1б) 6 < x < 8, x ∈ (6; 8), тогда |6 - x| = x - 6
x - 6 = px + 6
x - px = 12
x(1 - p) = 12
При p = 1 решений нет, нам это не подходит.
При [b]p ≠ 1[/b] будет [b]x = 12/(1 - p)[/b]
Найдём, при каких p будет x ∈ (6; 8)
{ 12/(1 - p) > 6
{ 12/(1 - p) < 8
1 неравенство сокращаем на 6, 2 неравенство сокращаем на 4.
{ 2/(1 - p) - 1 > 0
{ 3/(1 - p) - 2 < 0
Переводим левые части в дроби:
{ [m]\frac{2 - 1 + p}{1 - p} > 0[/m]
{ [m]\frac{3 - 2 + 2p}{1 - p} < 0[/m]
Упрощаем:
{ [m]\frac{1 + p}{1 - p} > 0[/m]
{ [m]\frac{1 + 2p}{1 - p} < 0[/m]
Решаем:
{ p ∈ (-1; 1)
{ p ∈ (-oo; -1/2) U (1; +oo)
Получаем:
При [b]p ∈ (-1; -1/2)[/b] будет [b]x2 = 12/(1 - p)[/b]. Это 2 решение.
[b]2 случай.[/b]
x ≥ 8, тогда |x - 8| = x - 8
|x - 8 - 2| = px + 6
|x - 10| = px + 6
2а) 8 ≤ x < 10, x ∈ [8; 10), тогда |x - 10| = 10 - x
10 - x = px + 6
10 - 6 = px + x
x(p + 1) = 4
При p = -1 решений нет. Нам это не подходит.
При [b]p ≠ -1[/b] будет [b]x3 = 4/(1 + p)[/b]
Найдём, при каких p будет x ∈ [8; 10)
{ 4/(1 + p) ≥ 8
{ 4/(1 + p) < 10
1 неравенство сокращаем на 4, 2 неравенство сокращаем на 2.
{ 1/(1 + p) - 2 ≥ 0
{ 2/(1 + p) - 5 < 0
Переводим левые части в дроби:
{ [m]\frac{1 - 2 - 2p}{1 + p} ≥ 0[/m]
{ [m]\frac{2 - 5 - 5p}{1 + p} < 0[/m]
Упрощаем:
{ [m]\frac{-1 - 2p}{1 + p} ≥ 0[/m]
{ [m]\frac{-3 - 5p}{1 + p} < 0[/m]
Решаем:
{ p ∈ (-1; -1/2]
{ p ∈ (-oo; -1) U (-3/5; +oo)
Получаем:
При [b]p ∈ (-3/5; -1/2][/b] будет [b]x3 = 4/(1 + p)[/b]. Это 3 решение.
2б) x ≥ 10, тогда |x - 10| = x - 10
x - 10 = px + 6
x - px = 16
x(1 - p) = 16
При p = 1 решений нет, нам это не подходит.
При [b]p ≠ 1[/b] будет [b]x = 16/(1 - p)[/b]
Найдём, при каких p будет x ≥ 10
16/(1 - p) ≥ 10
8/(1 - p) - 5 ≥ 0
[m]\frac{8 - 5 + 5p}{1 - p} ≥ 0[/m]
[m]\frac{3 + 5p}{1 - p} ≥ 0[/m]
При [b]p ∈ [-3/5; 1)[/b] будет [b]x4 = 16/(1 - p)[/b]. Это 4 решение.
Итак, мы получили 4 решения:
x1 = 0 при p ≠ -1
x2 = 12/(1 - p) при p ∈ (-1; -1/2)
x3 = 4/(1 + p) при p ∈ (-3/5; -1/2]
x4 = 16/(1 - p) при p ∈ [-3/5; 1)
Но нам нужно только 3 решения. Значит, нужно найти такие p, при которых какие-то из этих 4 решений равны друг другу.
Во-первых, ни одна из дробей не равна 0 ни при каком p.
Во-вторых, 12/(1 - p) ≠ 16/(1 - p) тоже ни при каком p.
Осталось проверить два равенства:
1) [m]\frac{12}{1-p} = \frac{4}{1+p}[/m]
Сокращаем на 4:
[m]\frac{3}{1-p} = \frac{1}{1+p}[/m]
По правилу пропорции:
3(1 + p) = 1 - p
3 + 3p = 1 - p
4p = -2
[b]p1 = -1/2[/b]
2) [m]\frac{16}{1-p} = \frac{4}{1+p}[/m]
Сокращаем на 4:
[m]\frac{4}{1-p} = \frac{1}{1+p}[/m]
По правилу пропорции:
4(1 + p) = 1 - p
4 + 4p = 1 - p
5p = -3
[b]p2 = -3/5[/b]
Сумма решений:
p1 + p2 = -1/2 - 3/5 = -0,5 - 0,6 = -1,1
Ответ: -1,1
Все решения
| |x – 8| – 2| -6= px
Строим графики функций:
y=| |x – 8| – 2| -6
y=px
Прямая, проходящая через точки (0;0) и (8;-4) трижды пересекает график y=| |x – 8| – 2| -6
-4=р*8
р=-1/2
При р=-1/2 уравнение имеет три корня
Прямая, проходящая через точки (0;0) и (10;-6) трижды пересекает график y=| |x – 8| – 2| -6
-6=р*10
р=-6/10
При р=-6/10 уравнение имеет три корня
Сумма значений параметров
(-1/2)+(-6/10)=-11/10=[b]-1,1[/b]