Задача 72226 Решите параметр, надо ровно 4 целых...
Условие
Решение
[m]x^2-9x ≥ 0[/m]
[m]x(x-9) ≥ 0[/m]
\\\\\\\ [0] ______ [9] ////////
x ∈ (- ∞ ;0] U [9; + ∞ )
так как при x ∈ (- ∞ ;0] U [9; + ∞ )
[m]\sqrt{x^2-9x} ≥ 0[/m]
значит
[m]x^2-6x+6a^2-a^4 ≤ 0 [/m]
[m](x^2-a^4)+(6a^2-6x) ≤ 0 [/m]
[m](x-a^2)(x+a^2)-6(x-a^2) ≤ 0 [/m]
[m](x-a^2)(x+a^2-6) ≤ 0 [/m]
[m]\left\{\begin {matrix}x-a^2 ≥ 0\\x+a^2-6 ≤ 0\end {matrix}\right.[/m] или [m]\left\{\begin {matrix}x-a^2 ≤ 0\\x+a^2-6 ≥ 0\end {matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin {matrix}x ≥ a^2\\x ≤ 6-a^2\end {matrix}\right.[/m] или [m]\left\{\begin {matrix}x ≤ a^2 \\x ≥ 6- a^2\end {matrix}\right.[/m]
Решение системы 1 на[i] координатно параметрической плоскости[/i] xOa ( рис. 1) ( ось Ох на своем месте, ось Оа вместо оси Оу )
Значения параметра а смотрим на оси Оа
По рисунку решения в области фиолетового цвета.
При этом условию x ∈ (- ∞ ;0] U [9; + ∞ ) принадлежит только одно решение x=0
Значения параметра а смотрим на оси Оа
Решение системы 2 на координатно параметрической плоскости xOa ( рис.2) фиолетового цвета
Например,
При a=-3 и а=3 неравенство имеет 5 целых решений
О т в е т.
Неравенство не имеет ровно 4 целых решения
Все решения
Область определения:
x^2 - 9x ≥ 0
x(x - 9) ≥ 0
x ≤ 0 U x ≥ 9
x ∈ (-oo; 0] U [9; +oo)
Теперь решаем само неравенство (1).
Произведение выражений ≤ 0, если эти выражения имеют разные знаки.
Решим систему неравенств:
{ sqrt(x^2 - 9x) ≤ 0
{ x^2 - 6x + 6a^2 - a^4 ≥ 0
Так как корень арифметический, то есть неотрицательный, то:
sqrt(x^2 - 9x) ≥ 0 при всех x, принадлежащих области определения.
Поэтому 1 неравенство системы превращается в равенство:
sqrt(x^2 - 9x) = 0
x^2 - 9x = 0
x(x - 9) = 0
x1 = 0; x2 = 9
Значит, у неравенства (1) при любом а будет как минимум 2 корня: x1 = 0 и x2 = 9.
А нам нужно, чтобы неравенство (1) имело 4 целых корня.
При x < 0 и при x > 9 корень sqrt(x^2 - 9x) > 0 и его можно сократить.
x^2 - 6x + 6a^2 - a^4 ≤ 0 (2)
Значит, неравенство (2) должно иметь 2 целых корня.
Решаем как обычное квадратное неравенство:
D/4 = (-3)^2 - 1*(6a^2 - a^4) = a^4 - 6a^2 + 9 = (a^2 - 3)^2
Квадрат неотрицателен при любом значении а.
Если D/4 = 0, то:
a^2 - 3 = 0
a^2 = 3
a1 = -sqrt(3); a2 = sqrt(3)
При этом неравенство (2) имеет 1 корень:
x = 3
Неравенство (1) будет иметь 3 целых корня, это нам не подходит.
Если D/4 > 0, то левая часть имеет два корня:
x3 = 3 - (a^2 - 3) = 6 - a^2
x4 = 3 + (a^2 - 3) = a^2
Неравенство имеет решением промежуток:
При a^2 ≥ 3 будет x ∈ [6 - a^2; a^2]
При a^2 < 3 будет x ∈ [a^2; 6 - a^2]
Но в любом случае промежуток симметричен относительно числа 3.
То есть он содержит:
Либо одно целое число 3, тогда нер-во (1) имеет 3 целых корня.
Либо три целых числа 2, 3, 4, тогда нер-во (1) имеет 5 целых корней.
Либо еще больше целых чисел.
Вот у меня график неравенства (2) при а = 2.
Промежуток: x ∈ [2; 4], то есть содержит целые решения 2, 3, 4.
При этом неравенство (1) имеет 5 целых корней: 0, 2, 3, 4, 9.
Ответ: Таким образом получается, что ровно 4 целых корня неравенство (1) не имеет ни при каком значении параметра а.