Задача 72224 Доопределите функцию до непрерывной,...

64ad149673d6ee47dce3bdc1

11.07.2023 11:49:37

Доопределите функцию до непрерывной, если возможно, в точке а: f(x) = sqrt(1-x) - 1/ sqrt^( 3)(1+x) - 1, а= 0

5f3ea7e3faf909182968ddd9

11.07.2023 12:41:02

★

[m]f(x)=\frac{\sqrt{1-x}-1}{\sqrt[3]{1+x}-1}[/m]

Находим предел слева:

[m]lim_{x → -0}\frac{\sqrt{1-x}-1}{\sqrt[3]{1+x}-1}=\frac{0}{0}=[/m] неопределенность.

Устраняем неопределенность

Умножаем и числитель и знаменатель на [m](\sqrt{1-x}+1)(\sqrt[3]{(1+x)^2}+\sqrt[3]{1+x}+1)[/m]

[m]lim_{x → -0}\frac{(\sqrt{1-x}-1)(\sqrt{1-x}+1)(\sqrt[3]{(1+x)^2}+\sqrt[3]{1+x}+1)}{(\sqrt[3]{1+x}-1)(\sqrt{1-x}+1)(\sqrt[3]{(1+x)^2}+\sqrt[3]{1+x}+1)}=lim_{x → -0}\frac{(-x)(\sqrt[3]{(1+x)^2}+\sqrt[3]{1+x}+1)}{(x)(\sqrt{1-x}+1)}=lim_{x → -0}\frac{(1-x-1)(\sqrt[3]{(1+x)^2}+\sqrt[3]{1+x}+1)}{(1+x-1)(\sqrt{1-x}+1)}=-lim_{x → -0}\frac{\sqrt[3]{(1+x)^2}+\sqrt[3]{1+x}+1}{\sqrt{1-x}+1}=[/m]
[m]-\frac{3}{2}[/m]


Находим предел справа:

[m]lim_{x → +0}\frac{\sqrt{1-x}-1}{\sqrt[3]{1+x}-1}=\frac{0}{0}=[/m] аналогично

[m]=-\frac{3}{2}[/m]

⇒ Функция имеет предел в точке х=0

[m]lim_{x → 0}\frac{\sqrt{1-x}-1}{\sqrt[3]{1+x}-1}=-\frac{3}{2}[/m]

Функция не определена в точке x=0

Значит, чтобы доопределить функцию по непрерывности, надо взять значение функции в точке, равным найденному пределу


[m]f(0)=-\frac{3}{2}[/m]