Задача 72219 ...
Условие
(x2 + 2a2 – 4x –a4 +3) √(x^2-7x+6)≤0
Решение
Во-первых, область определения:
Выражение под корнем должно быть неотрицательным.
x^2 - 7x + 6 ≥ 0
(x - 1)(x - 6) ≥ 0
x ≤ 1 U x ≥ 6
Так как корень арифметический, то он сам неотрицательный.
sqrt(x^2 - 7x + 6) ≥ 0
Решениями неравенства при любом а будут числа x1 = 1 и x2 = 6.
Далее, на этот корень можно сократить неравенство, потому что при всех x < 1 и при x > 6 сам корень будет положительным.
Решаем первую скобку.
x^2 + 2a^2 - 4x - a^4 + 3 ≤ 0
Запишем левую часть как квадратное неравенство:
x^2 - 4x + (-a^4 + 2a^2 + 3) ≤ 0
a = 1; b = -4; c = (-a^4 + 2a^2 + 3)
D/4 = (b/2)^2 - ac = (-2)^2 - 1*(-a^4 + 2a^2 + 3) = a^4 - 2a^2 + 1
D/4 = (a^2 - 1)^2 ≥ 0 при любом а.
Это неравенство всегда имеет два корня:
x3 = (-b/2 - sqrt(D/4))/a = (2 - (a^2 - 1))/1 = 2 - a^2 + 1 = 3 - a^2
x4 = (-b/2 + sqrt(D/4))/a = (2 + (a^2 - 1))/1 = 2 + a^2 - 1 = a^2 + 1
При D/4 = 0 будет один корень:
a^2 - 1 = 0
(a - 1)(a + 1) = 0
a1 = -1; a2 = 1
x = -b/(2a) = 4/(2*1) = 2, но он не входит в область определения.
Теперь нам надо проверить корни x3 и x4 на область определения.
1)
{ 3 - a^2 ≤ 1
{ a^2 + 1 ≤ 1
Решаем:
{ a^2 ≥ 2
{ a^2 ≤ 0
Эта система решений не имеет.
2)
{ 3 - a^2 ≤ 1
{ a^2 + 1 ≥ 6
Решаем:
{ a^2 ≥ 2
{ a^2 ≥ 5
a ∈ (-oo; -sqrt(5)) U (sqrt(5); +oo)
Так как x3 = 3 - a^2 ≤ 1, а x4 = a^2 + 1 ≥ 6, то решение неравенства:
x ∈ [3 - a^2; 1] U [6; a^2 + 1]
3)
{ 3 - a^2 ≥ 6
{ a^2 + 1 ≤ 1
Решаем:
{ a^2 ≤ -3
{ a^2 ≤ 0
Эта система решений не имеет.
4)
{ 3 - a^2 ≥ 6
{ a^2 + 1 ≥ 6
Решаем:
{ a^2 ≤ -3
{ a^2 ≥ 5
Эта система решений не имеет.
Итак, получили:
При любом а будет два решения: x1 = 1; x2 = 6
При a ∈ (-oo; -sqrt(5)] U [sqrt(5); +oo) будет третье решение:
x ∈ [3 - a^2; 1] U [6; a^2 + 1]
При a = -sqrt(5) и при a = sqrt(5) это решение будет:
3 - a^2 = 3 - 5 = -2; a^2 + 1 = 5 + 1 = 6
x3 = [-2; 1] U [6]
Все решения
x^2-7x+6 ≥ 0
D=49-24=25
x_(1)=1; x_(2)=6
[b]x≤ 1[/b] или [b]x ≥ 6[/b]
При [b]x≤ 1[/b] или [b]x ≥ 6[/b]
sqrt(x^2-7x+6) ≥ 0
значит
x^2+2a^2-4x-a^4+3 ≤ 0
Выделяем полные квадраты
(x^2-4x+4)-(a^4-2a^2+1) ≤ 0
(x-2)^2-(a^2-1)^2 ≤ 0
(x-2-a^2+1)(x-2+a^2-1) ≤ 0
(x-a^2-1)(x+a^2-3) ≤ 0
Решаем методом интервалов
x_(3)=a^2+1 или x_(4)=3-a^2
Решение неравенства:
a^2+1 ≤ x ≤ 3-a^2 или 3-a^2 ≤ x ≤ a^2+1
Так как x_(3)=a^2+1 или x_(4)=3-a^2
симметричны относительно точки x=2, так как (x_(3)+x_(4))/2=2
a^2+1 ≥ 1 при любом а
поэтому возможны следующие случаи расположения точек x_(1)=1; x_(2)=6; x_(3)=a^2+1; x_(4)=3-a^2
[b]1 случай[/b]
_____ [1] _____[b](a^2+1)___ (3-a^2)[/b]___ [6] ____
1 ≤ a^2+1 ≤ 2 ⇒ 0 ≤ a^2 ≤ 1
тогда
-1 ≤ -a^2 ≤ 0 ⇒ 2 ≤ 3-a^2 ≤ 3
x_(3) и x_(4) расположены между x_(1) и x_(2) и не удовлетворяют условию [b]x≤ 1[/b] или [b]x ≥ 6[/b]
0 ≤ a^2 ≤ 1 ⇒ 0 ≤ |a |≤ 1 ⇒ a ∈ [-1;1] неравенство x^2+2a^2-4x-a^4+3 ≤ 0
не имеет корней, и поэтому данное неравенство верно лишь при x=1; x=6
[b]2 случай[/b]
______ (3-a^2) ____ [1] _____________ [6] ____ (a^2+1)___
{3-a^2 ≤ 1 ⇒ a^2 ≥ 4
{a^2+1 ≥ 6 ⇒ a^2 ≥ 5 ⇒
a^2 ≥ 5
|a| ≥ sqrt(5)
Условие задачи написано не полностью... поэтому и ответа не будет