Задача 72207 найди наименьшее значение функции трех...

64a397d1535c731685c95de5

04.07.2023 06:54:31

найди наименьшее значение функции трех действительных переменных f (x, y,z) = 28 + 8x + x2 + 8y + y? + 16z + 2xz + 2yz + 272

626fab9a354ab65fb2f43abb

04.07.2023 14:40:51

★

Небольшая ошибка в функции, видимо, должно быть так:
f (x, y,z) = 28 + 8x + x^2 + 8y + y^2 + 16z + 2xz + 2yz + 2z^2
Необходимое условие экстремума:
Все производные 1 порядка должны быть равны 0.
df/dx = 8 + 2x + 2z = 0
df/dy = 8 + 2y + 2z = 0
df/dz = 16 + 2x + 2y + 4z = 0
Все три уравнения можно разделить на 2. Получаем систему:
{ x + y + 0z = -4
{ 0x + y + z = -4
{ x + y + 2z = -8
Умножаем 2 уравнение на -2 и складываем с 3 уравнением:
{ x + y + 0z = -4
{ x + y + 2z = -8
{ x - y + 0z = 0
Складываем 1 и 3 уравнения:
2x = -4;
x = -2
Подставляем в 1 и 2 уравнения:
y = -2
z = -2
Находим значение в точке (-2; -2; -2)
f(-2; -2; -2) = 28 + 8(-2) + (-2)^2 + 8(-2) + 16(-2) +
+ 2(-2)(-2) + 2(-2)(-2) + 2(-2)^2 =
= 28 - 16 - 16 - 32 + 8 + 8 + 8 = -12

Ответ: -12