Задача 72205 Исследуйте на экстремум функцию:...
Условие
Решение
Необходимое условие экстремума.
Все производные 1 порядка должны быть равны 0
dz/dx = 3y - 12 = 0
dz/dy = 3x + 3y^2 - 15 = 0
Переносим числа направо:
{ 3y = 12
{ 3x + 3y^2 = 15
Решаем:
{ y = 12/3 = 4
{ 3x + 3*4^2 = 15
3x = 15 - 3*16 = 15 - 48 = -33
x = -33/3 = -11
z(-11; 4) = 3(-11)*4 + 4^3 - 12(-11) - 15*4 + 13 =
= -11*12 + 64 + 12*11 - 60 + 13 = 17
M0(-11; 4; 17) - Критическая точка.
Достаточное условие экстремума.
Находим производные 2 порядка.
d^2z/dx^2 = (3y - 12)'_x = 0
d^2z/(dxdy) = (3y - 12)'_y = 3
d^2z/dy^2 = (3x + 3y^2 - 15)'_y = 6y
В точке M0(-11; 4; 17) будет:
A = d^2z/dx^2 = 0
B = d^2z/(dxdy) = 3
C = d^2z/dy^2 = 6*4 = 24
D = A*C - B^2 = 0*24 - 3^2 = 0 - 9 = -9 < 0
Если D < 0, то точка не экстремум, а "седловая точка".
Ответ: Функция экстремумов не имеет.