Задача 72196 ...
Условие
sin x*cos 2x - sqrt(2)*cos^2 x + sin x = 0, [3π/2; 3π]
2cos^3 x = sqrt(3)*sin^2 x + 2cos x, [-3π; -5π/2]
Решение
а) 2sin^2 x*cos x + sqrt(3)cos^2 x = sqrt(3)
2sin^2 x*cos x + sqrt(3)cos^2 x - sqrt(3) = 0
2cos x*sin^2 x + sqrt(3)*(cos^2 x - 1) = 0
Как известно, sin^2 x = 1 - cos^2 x, поэтому:
2cos x*sin^2 x + sqrt(3)*(-sin^2 x) = 0
Выносим sin^2 x за скобки:
sin^2 x*(2cos x - sqrt(3)) = 0
Если произведение равно 0, то один из множителей равен 0
1) sin^2 x = 0
sin x = 0
x = π*k; k ∈ Z
2) 2cos x - sqrt(3) = 0
cos x = sqrt(3)/2
x = +-π/6 + 2π*n; n ∈ Z
б) На отрезке [5π/2; 4π] = [2,5π; 4π] находятся корни:
x1 = 3π; x2 = 4π; x3 = -π/6 + 4π = 23π/6
2 задача
а) sin x*cos 2x - sqrt(2)*cos^2 x + sin x = 0
sin x*(cos 2x + 1) - sqrt(2)*cos^2 x = 0
Формула косинуса двойного угла:
cos 2x = 2cos^2 x - 1 = 1 - 2sin^2 x = cos^2 x - sin^2 x, поэтому
sin x*(2cos^2 x - 1 + 1) - sqrt(2)*cos^2 x = 0
2sin x*cos^2 x - sqrt(2)*cos^2 x = 0
Выносим cos^2 x за скобки:
cos^2 x*(2sin x - sqrt(2)) = 0
Если произведение равно 0, то один из множителей равен 0
1) cos^2 x = 0
cos x = 0
x = π/2 + π*k; k ∈ Z
2) 2sin x - sqrt(2) = 0
sin x = sqrt(2)/2
x = (-1)^(n)*π/4 + π*n; n ∈ Z
б) На отрезке [3π/2; 3π] = [1,5π; 3π] находятся корни:
x1 = 3π/2; x2 = 5π/2; x3 = π/4 + 2π = 9π/4; x4 = -π/4 + 3π = 11π/4
3 задача
2cos^3 x = sqrt(3)*sin^2 x + 2cos x
sqrt(3)*sin^2 x + 2cos x - 2cos^3 x = 0
sqrt(3)*sin^2 x + 2cos x - 2cos x*cos^2 x = 0
sqrt(3)*sin^2 x + 2cos x*(1 - cos^2 x) = 0
Как известно, sin^2 x = 1 - cos^2 x, поэтому:
sqrt(3)*sin^2 x + 2cos x*sin^2 x = 0
Выносим sin^2 x за скобки:
sin^2 x*(sqrt(3) + 2cos x) = 0
1) sin^2 x = 0
sin x = 0
x = π*k; k ∈ Z
2) 2cos x + sqrt(3) = 0
cos x = -sqrt(3)/2
x = +-5π/6 + 2π*n; n ∈ Z
б) На отрезке [-3π; -5π/2] = [-3π; -2,5π] находятся корни:
x1 = -3π; x2 = - 5π/6 - 2π = -17π/6