Задача 72189 Найти экстремум функции двух...
Условие
z = x^2 +xy +y^2 - 2x-y+4
Решение
∂z/∂x=(x^2+xy+y^2-2x-y+4)`_(x)=2x+y-2
∂z/∂y=(x^2+xy+y^2-2x-y+4)`_(y)=x+2y-1
2. Решим систему уравнений:
{∂z/∂x=0
{∂z/∂y=0
{2x+y-2=0
{x+2y-1=0 ( умножаем на (-2))
{2x+y-2=0
{-2x-4y
-3у=0
y=0
x=1-2y
x=1
M (1;0) - стационарная точка
3.
Находим частные производные второго порядка:
∂^2z/∂x^2=(2x+y-2)`_(x)=2
∂^2z/∂x∂y==(2x+y-2)`_(x)=1
∂^2z/∂y^2=(x+2y-1)`_(y)=2
A=∂^2z/∂x^2 (M) =2 > 0
B=∂^2z/∂x∂y (M) =2
C=∂^2z/∂y^2 (M)=1
Δ = AB-C^2=4-1=3 > 0; есть экстремум в точке (1;0)
минимум, так как A=∂^2z/∂x^2 (M) =2 > 0
z(1;0)=1^2+1*0+0^2-2*1-0+4=3 
Все решения
Необходимое условие экстремума:
Все производные 1 порядка должны быть равны 0
dz/dx = 2x + y - 2 = 0
dz/dy = x + 2y - 1 = 0
Решаем систему:
{ 2x + y = 2
{ x + 2y = 1
Умножаем 1 уравнение на -2:
{ -4x - 2y = -4
{ x + 2y = 1
Складываем уравнения:
-3x = -3
x = 1
Подставляем в любое уравнение:
1 + 2y = 1
y = 0
z(1; 0) = 1^2 + 1*0 + 0^2 - 2*1 - 0 + 4 = 1 - 2 + 4 = 3
M(1; 0; 3) - критическая точка.
Достаточное условие экстремума:
Находим производные 2 порядка:
A = d^2z/dx^2 = (2x + y - 2)'_x = 2 > 0
B = d^2z/(dxdy) = (2x + y - 2)'_y = 1
C = d^2z/dy^2 = (x + 2y - 1)'_y = 2
D = A*C - B^2 = 2*2 - 1^2 = 4 - 1 = 3 > 0
Если D > 0 и A > 0 - это точка минимума.
Если D > 0 и A < 0 - это точка максимума.
Если D < 0 - это не экстремум, а "седловая точка".
Если D = 0 - неизвестно, нужны дополнительные исследования.
У нас D > 0 и A > 0, значит, M(1; 0; 3) - это точка минимума.