Задача 72168 найти экстремум функции двух переменных...
Условие
Решение
Необходимое условие экстремума:
Все производные 1 порядка должны быть равны 0.
dz/dx = 2x + y - 2 = 0
dz/dy = 2y + x - 1 = 0
Решаем систему.
{ 2x + y = 2
{ x + 2y = 1
Умножаем 1 уравнение на -2.
{ -4x - 2y = -4
{ x + 2y = 1
Складываем уравнения.
-3x = -3
x = 1
Подставляем в любое уравнение:
2*1 + y = 2
y = 0
z(0; 1) = 0 + 0 + 1 - 2*0 - 1 + 4 = 4
M0(1; 0; 4) - Критическая точка.
Достаточное условие экстремума.
Находим производные 2 порядка:
A = d^2z/dx^2 = (2x + y - 2)'_(x) = 2 > 0
B = d^2z/(dxdy) = (2x + y - 2)'_(y) = -1
C = d^2z/dy^2 = (2y + x - 1)'_(y) = 2
D = A*C - B^2 = 2*2 - (-1)^2 = 4 - 1 = 3 > 0
Достаточное условие:
Если D > 0 и A < 0 – это точка максимума.
Если D > 0 и A > 0 – это точка минимума.
Если D < 0 – это не экстремум, а так называемая "седловая точка".
Если D = 0 – неизвестно, нужны дополнительные исследования.
У нас D > 0 и A > 0, значит, M0(1; 0; 4) - точка минимума.