Задача 72163 Найти частное решение при х =1,у = 0 для...
Условие
Решение
[m]y`=\sqrt{1+(\frac{y}{x})^2}+\frac{y}{x}[/m] - однородное уравнение
Замена:
[m]u=\frac{y}{x}[/m] ⇒ [m]y=u\cdot x[/m] ⇒ [m]y`=u`\cdot x+u\cdot x`[/m]
[m]x`=1[/m], так как [m]x[/m]- [i]независимая[/i] переменная
[m]y`=u`\cdot x+u[/m]
[m]u`\cdot x+u=\sqrt{1+(u)^2}+u[/m] - уравнение с разделяющимися переменными
[m]u`\cdot x=\sqrt{1+(u)^2}[/m]
[m]x\cdot du=\sqrt{1+(u)^2}dx[/m]
[m]\frac{du}{\sqrt{1+(u)^2}}=\frac{dx}{x}[/m]
[m] ∫ \frac{du}{\sqrt{1+(u)^2}}= ∫ \frac{dx}{x}[/m]
[m]ln|u+\sqrt{1+(u)^2}|=ln|x|+lnC[/m]
[m]ln|u+\sqrt{1+(u)^2}|=lnC\cdot|x|[/m]
[m]u+\sqrt{1+(u)^2}=C\cdot x|[/m]
[m]\frac{y}{x}+\sqrt{1+(\frac{y}{x})^2}=C\cdot x[/m] - общее решение
при
x=1; y=0
[m]\frac{0}{1}+\sqrt{1+(\frac{0}{1})^2}=C\cdot 1[/m] ⇒ C=1
[m]\frac{y}{x}+\sqrt{1+(\frac{y}{x})^2}= x[/m] - решение, удовлетворяющее начальным условиям