Задача 72159 Нужно доказать тождество x \/ (y<->z) =...
Условие
Решение
Эквивалентность можно представить так:
A <-> B = (A ^ B) V (~A ^ ~B)
Здесь значок ~ - это отрицание.
Заменяем в левой части:
x ^ ((y ^ z) V (~y ^ ~z)) = (x ^ y ^ z) V (x ^ ~y ^ ~z) =
(x V x) ^ (x V y) ^ (x V z) ^ (x V ~y) ^ (y V ~y) ^ (z V ~y) ^ (x V ~z) ^ (y V ~z) ^ (z V ~z) =
= x ^ (x V y) ^ (x V z) ^ (x V ~y) ^ 1 ^ (z V ~y) ^ (x V ~z) ^ (y V ~z) ^ 1 =
= x ^ (~y V z) ^ (y V ~z) = x ^ ((~y ^ y) V (y ^ z) V (~y ^ ~z) V (z ^ ~z) =
= x ^ ((y ^ z) V (~y ^ ~z)) = x ^ (y <-> z)
По закону поглощения:
A ^ (A V B) = A
A V (A ^ B) = A
Поэтому все скобки с х пропали.
1 тоже пропали, потому что A ^ 1 = A
Теперь раскладываем точно также правую часть:
((x ^ y) <-> (x ^ z)) <-> x = ((x ^ y ^ x ^ z) V (~(x ^ y) ^ ~(x ^ z)) <-> x =
[(x ^ y ^ z) V ((~x V ~y) ^ (~x V ~z))] <-> x =
= [(x ^ y ^ z) V (~x ^ ~x) V (~x ^ ~y) V (~x ^ ~z) V (~y ^ ~z)] <-> x =
= [(x ^ y ^ z) V ~x V (~x ^ ~y) V (~x ^ ~z) V (~y ^ ~z)] <-> x =
= [(x ^ y ^ z) V ~x V (~y ^ ~z)] <-> x =
= ((x ^ y ^ z ^ x) V (~x ^ x) V (~y ^ ~z ^ x)) V
V [((~x V ~y V ~z) ^ ~x) ^ (x ^ ~x) ^ ((y V z) ^ ~x)] =
= ((x ^ y ^ z) V 0 V (~y ^ ~z ^ x)) V [~x ^ 0 ^ ((y V z) ^ ~x)] =
= (x ^ y ^ z) V (~y ^ ~z ^ x)) V 0 = x ^ ((y ^ z) V (~y ^ ~z)) = x ^ (y <-> z)
Как видим, обе части сводятся к одному и тому же выражению.
Значит, они равны между собой.