Задача 72149 Исследовать функцию на экстремум z =...
Условие
z = x^2+y^2 -2x+4sqrt(xy) -2y +8
Решение
Необходимое условие экстремума:
Все производные 1 порядка должны быть равны 0.
[m]\frac{dz}{dx} = 2x - 2 + \frac{4\sqrt{y}}{2\sqrt{x}} = 0[/m]
[m]\frac{dz}{dy} = 2y - 2 + \frac{4\sqrt{x}}{2\sqrt{y}} = 0[/m]
Решаем систему:
{ [m]2x - 2 + \frac{2\sqrt{y}}{\sqrt{x}} = 0[/m]
{ [m]2y - 2 + \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{y}} = 0[/m]
Сокращаем оба уравнения на 2.
1 уравнение умножаем на sqrt(x), а 2 уравнение на sqrt(y)
{ xsqrt(x) - sqrt(x) + sqrt(y) = 0
{ ysqrt(y) - sqrt(y) + sqrt(x) = 0
Выразим в 1 уравнении y через x
{ sqrt(y) = sqrt(x) - xsqrt(x) = sqrt(x)(1 - x)
{ ysqrt(y) - sqrt(y) + sqrt(x) = 0
Из 1 уравнения:
y = x(1 - x)^2
Подставляем y и sqrt(y) во 2 уравнение
x(1 - x)^2*sqrt(x)(1 - x) - sqrt(x)(1 - x) + sqrt(x) = 0
1) sqrt(x) = 0; [b]x1 = 0; y1 = 0; z(0; 0) = 8[/b]
Но в точке (0; 0) производная не существует, поэтому это не экстремум.
2) Пусть x не равен 0, тогда сокращаем на sqrt(x)
x(1 - x)^3 - (1 - x) + 1 = 0
x(1 - x)^3 + x = 0
x((1 - x)^3 + 1) = 0
Так как x не равен 0, сокращаем x
(1 - x)^3 + 1 = 0
(1 - x)^3 = -1
1 - x = -1
x2 = 2; y2 = 2(1 - 2)^2 = 2*1 = 2;
z(2; 2) = 2^2 + 2^2 - 2*2 + 4sqrt(2*2) - 2*2 + 8 = 4+4-4+8-4+8 = 16
[b]x2 = 2; y2 = 2; z(2; 2) = 16[/b]
Достаточное условие экстремума.
Находим производные 2 порядка.
[m]A = \frac{d^2z}{dx^2} = 2 + 2\sqrt{y}(-\frac{1}{2}) \cdot x^{-3/2} = 2 - \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x^3}}[/m]
[m]B = \frac{d^2z}{dxdy} = \frac{2}{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{y}} = \frac{1}{\sqrt{xy}}[/m]
[m]C = \frac{d^2z}{dy^2} = 2 + 2\sqrt{x}(-\frac{1}{2}) \cdot y^{-3/2} = 2 - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y^3}}[/m]
[m]D = AC - B^2 = (2 - \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x^3}})(2 - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y^3}}) - \frac{1}{xy}[/m]
Здесь нет смысла упрощать, проще подставить точку (2; 2)
[m]A(2; 2) = 2 - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{8}} = 2 - \frac{1}{\sqrt{4}} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} > 0[/m]
[m]B(2; 2) = \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}[/m]
[m]C(2; 2) = 2 - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{8}} = 2 - \frac{1}{\sqrt{4}} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}[/m]
[m]D(2; 2) = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} - (\frac{1}{2})^2 = \frac{9}{4} - \frac{1}{4} = \frac{8}{4} = 2 > 0[/m]
Если D > 0 и A > 0 - это точка минимума.
Ответ: z(2; 2; 16) - точка минимума