Задача 72139 Знайдіть частинне рішення лінійного...

649098fd014e4c1830e96e1f

21.06.2023 17:37:27

Знайдіть частинне рішення лінійного однорідного диференціального рівняння
другого порядку зі сталими коефіцієнтами, що задовольняє заданим початковим умовам.

626fab9a354ab65fb2f43abb

21.06.2023 21:16:37

★

y'' - 4y' + 17y = 0; y(π/2) = 0; y'(π/2) = 1
Однородное уравнение 2 порядка с постоянными коэффициентами.
Характеристическое уравнение:
k^2 - 4k + 17 = 0
D/4 = (-2)^2 - 17 = 4 - 17 = -13; sqrt(D/4) = sqrt(13)*i
k1 = 2 - sqrt(13)*i; k2 = 2 + sqrt(13)*i
Общее решение:
y(x) = e^(2x)*(C1*cos (sqrt(13)*x) + C2*sin (sqrt(13)*x))
Частное решение
y'(x) = 2e^(2x)*(C1*cos (sqrt(13)*x) + C2*sin (sqrt(13)*x)) +
+ e^(2x)*(-sqrt(13)*C1*sin (sqrt(13)*x) + sqrt(13)*C2*cos(sqrt(13)*x))
y'(x) = e^(2x)*((2C1 + sqrt(13)*C2)*cos(sqrt(13)*x) + (2C2 - sqrt(13)*C1)*sin (sqrt(13)*x))
y(π/2) = e^(π)*(C1*cos (sqrt(13)*π/2) + C2*sin (sqrt(13)*π/2)) = 0
y'(π/2) = e^(π)*((2C1+sqrt(13)*C2)*cos(sqrt(13)*π/2)+(2C2-sqrt(13)*C1)*sin (sqrt(13)*π/2)) = 1
Теперь надо решить систему:
{ e^(π)*(C1*cos (sqrt(13)*π/2) + C2*sin (sqrt(13)*π/2)) = 0
{ e^(π)*((2C1 + sqrt(13)*C2)*cos(sqrt(13)*π/2) + (2C2 - sqrt(13)*C1)*sin (sqrt(13)*π/2)) = 1
Вычисляем числа:
e^(π) ≈ 23,14
sqrt(13) ≈ 3,6
cos (sqrt(13)*π/2) ≈ 0,8141
sin (sqrt(13)*π/2) ≈ -0,5807
Подставляем:
{ 23,14*(C1*0,8141 + C2*(-0,5807)) = 0
{ 23,14*((2C1 + 3,6*C2)*0,8141 + (2C2 - 3,6*C1)(-0,5807) = 1
Упрощаем:
{ 0,8141*C1 - 0,5807*C2 = 0
{ 1,6282*C1 + 2,9308*C2 - 1,1614*C2 + 2,0905*C1 = 1/23,14 = 0,04321
Приводим подобные:
{ 0,8141*C1 = 0,5807*C2
{ 3,7187*C1 + 1,7694*C2 = 0,04321
Решить эту простую систему я предоставляю вам.