Задача 72136 Прямая l задана в пространстве общими...

6492e880828c8b6984aa3e75

21.06.2023 15:19:15

Прямая l задана в пространстве общими уравнениями. Написать её каноническое и параметрическое уравнения. Составить уравнение прямой , проходящей через точку М параллельно прямой l и вычислить расстояние между ними. Найти проекцию точки М на прямую l и точку пересечения прямой l и плоскости Р
Общие уравнения прямой:
{ x-3y + 2z - 5 =0,
2x +5y - 3z + 2 = 0
}
Координаты точки М(1;2;3)
Общее уравнение плоскости P: 2x -3y +4z - 6 = 0

626fab9a354ab65fb2f43abb

21.06.2023 18:08:37

★

Общие уравнения прямой:
{ x – 3y + 2z – 5 = 0
{ 2x + 5y – 3z + 2 = 0
Координаты точки М(1; 2; 3)
Общее уравнение плоскости P: 2x – 3y + 4z – 6 = 0
Найдем две точки на прямой и построим уравнение по точкам.
1) Пусть z = -3
{ x - 3y - 6 - 5 = 0
{ 2x + 5y + 9 + 2 = 0
Переносим числа вправо
{ x - 3y = 11
{ 2x + 5y = -11
Умножаем 1 уравнение на -2
{ -2x + 6y = -22
{ 2x + 5y = -11
Складываем уравнения
11y = -33
y = -3
x = 11 + 3y = 11 - 9 = 2
[b]A1(2; -3; -3)[/b]

2) Пусть z = 8
{ x - 3y + 16 - 5 = 0
{ 2x + 5y - 24 + 2 = 0
Переносим числа вправо
{ x - 3y = -11
{ 2x + 5y = 22
Умножаем 1 уравнение на -2
{ -2x + 6y = 22
{ 2x + 5y = 22
Складываем уравнения
11y = 44
y = 4
x = -11 + 3y = -11 +12 = 1
[b]A2(1; 4; 8)[/b]

Строим уравнение прямой по 2 точкам:
(x - 2)/(1 - 2) = (y + 3)/(4 + 3) = (z + 3)/(8 + 3) = t
Каноническое уравнение:
(x - 2)/(-1) = (y + 3)/7 = (z + 3)/11
Параметрические уравнения:
(x - 2)/(-1) = (y + 3)/7 = (z + 3)/11 = t
{ x = -t + 2
{ y = 7t - 3
{ z = 11t - 3

Уравнение прямой, параллельной этой через точку М(1; 2; 3)
(x - 1)/(-1) = (y - 2)/7 = (z - 3)/11

Точку пересечения прямой и плоскости P найдем из системы
{ x – 3y + 2z – 5 = 0
{ 2x + 5y – 3z + 2 = 0
{ 2x – 3y + 4z – 6 = 0
Переносим числа направо
{ x – 3y + 2z = 5
{ 2x + 5y – 3z = -2
{ 2x – 3y + 4z = 6
Умножаем 1 уравнение на -2 и складываем со 2 и с 3 уравнениями
{ x – 3y + 2z = 5
{ 0x + 11y - 7z = -12
{ 0x + 3y + 0z = -4
Нам повезло, из 3 уравнения сразу получаем:
[b]y = -4/3[/b]
Подставляем во 2 уравнение
11y - 7z = -12
-44/3 - 7z = -12
7z = -44/3 + 12 = -44/3 + 36/3 = -8/3
[b]z = -8/21[/b]
Подставляем найденные y и z в 1 уравнение
x – 3y + 2z = 5
x + 4 - 16/21 = 5
x = 5 - 4 + 16/21 = 37/21
[b]x = 37/21[/b]
Выразим y тоже со знаменателем 21:
y = -4/3 = -28/21
Координаты точки
N(37/21; -28/21; -8/21)