Задача 72128 ...
Условие
Найти площадь области, ограниченной кривой r = a*√(cos2α) и находящейся внутри круга r= a/√2
Решение
в декартовых координатах
[m]x=rcosθ 0[/m]
[m]y=rsinθ 0[/m]
[m]x^2+y^2=r^2[/m]
[m]x^2+y^2=(\frac{a}{\sqrt{2}})^2[/m] - уравнение окружности с центром в (0;0) и радиусом [m]R=\frac{a}{\sqrt{2}}[/m]
[m]a\cdot \sqrt{cos2 θ }=\frac{a}{\sqrt{2}}[/m] - лемниската Бернулли
[m]cos2θ ≥ 0[/m]⇒ [m] -\frac{π}{2}+2πk ≤ 2θ ≤ \frac{π}{2}+2πk,k ∈ [/m][b]Z[/b] ⇒ [m] -\frac{π}{4}+πk ≤ θ ≤ \frac{π}{4}+πk,k ∈ [/m][b]Z[/b]
Находим точки пересечения кривых:
[m]a\cdot \sqrt{cos2 θ }=\frac{a}{\sqrt{2}}[/m] ⇒ [m] \sqrt{cos2 θ }=\frac{1}{\sqrt{2}}[/m] ⇒ [m] cos2 θ=\frac{1}{2}[/m]
⇒ [m] 2 θ= ± arccos \frac{1}{2}+2πn,n ∈ [/m][b]Z[/b]⇒ [m] 2 θ= ± \frac{π}{3}+2πn,n ∈[/m][b]Z[/b]
[m] θ= ± \frac{π}{6}+πn, n ∈ [/m][b]Z[/b]
Можно рассмотреть область[b] в первой четверти[/b], она состоит из двух частей:
1)
[m] 0 ≤ θ ≤ \frac{π}{6}[/m]
[m] r =\frac{a}{\sqrt{2}}[/m]
2)
или [m] \frac{π}{6} ≤ θ ≤ \frac{π}{4}[/m]
[m] r =a\cdot \sqrt{cos2 θ } [/m]
[m]\frac{1}{4}S=S_{1}+S_{2}=\frac{1}{2} ∫^{\frac{π}{6}} _{0}(\frac{a}{\sqrt{2}})^2d θ +\frac{1}{2} ∫^{\frac{π}{4}} _{\frac{π}{6}}(a\cdot \sqrt{cos2 θ } )^2d θ =[/m]...
